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1，為什么p不等于np
2，對(duì)于PNP你們的看法
3，誰(shuí)能具體介紹一下P vs NP
4，什么是P問(wèn)題NP問(wèn)題和NPC問(wèn)題
5，NP的潛規(guī)則
6，什么是PNPNPCNPhard問(wèn)題

1，為什么p不等于np

因?yàn)? 1) n ≠ 1, p≠np; 2) p ≠ 0, p≠np.

只有當(dāng)p=0時(shí)，p=np；或者當(dāng)n=1時(shí)，p=np 因?yàn)閜有可能不等于0，n也可能不等于1，所以大部分情況下p不等于np

我是來(lái)混的 = =np啊~~~~我實(shí)在想到了不好的東西 = =

為什么p不等于np

2，對(duì)于PNP你們的看法

我們可以這樣理解：自己想出答案和確認(rèn)別人的答案是否正確，何者較容易？我認(rèn)為P≠NP，對(duì)于證明的論文。你可以去網(wǎng)上查詢，不過(guò)現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有人正確的證明出來(lái)，樓主應(yīng)該知道，P≠NP是數(shù)學(xué)界七大難題之一?？傊?，這個(gè)問(wèn)題是非常復(fù)雜的。給你舉個(gè)例子，在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說(shuō)，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)１３，７１７，４２１可以寫成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來(lái)驗(yàn)證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陳述的。

對(duì)于PNP你們的看法

3，誰(shuí)能具體介紹一下P vs NP

惠普實(shí)驗(yàn)室的研究員Vinay Deolalikar，一位在理論計(jì)算機(jī)、隨機(jī)過(guò)程、代數(shù)和邏輯方面都有過(guò)貢獻(xiàn)的研究人員，聲稱證明了P不等于NP。他的證明目前只有初稿在網(wǎng)絡(luò)上流傳，他在自己的網(wǎng)站上宣稱將在近期貼出正式的論文。 P vs NP是克萊研究所的千禧年難題大獎(jiǎng)中宣布的7道數(shù)學(xué)世紀(jì)難題中的一道。這7道難題分布在數(shù)學(xué)的不同分支，任一道難題的解決都被認(rèn)為會(huì)對(duì)相應(yīng)的分支有重大的影響。P vs NP問(wèn)題屬于理論計(jì)算機(jī)這個(gè)數(shù)學(xué)分支。目前為止，這七道難題中唯一被確認(rèn)證明的是龐加萊猜想，2006年由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼證明。如果Vinay Deolalikar的證明正確，他將很有可能成為第一位領(lǐng)取千禧年難題百萬(wàn)大獎(jiǎng)的人（佩雷爾曼拒絕了百萬(wàn)獎(jiǎng)金）。 P vs NP問(wèn)題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是是否每一個(gè)容易驗(yàn)證正確性的問(wèn)題都能很“快”地計(jì)算出來(lái)？比如說(shuō)，要驗(yàn)證一個(gè)整數(shù)是否整除另一個(gè)整數(shù)是很“快”的，那么給出一個(gè)整數(shù)，是否能很“快”找出它的一個(gè)因子？這里的“快”在理論計(jì)算機(jī)中有嚴(yán)格的定義，就是所需時(shí)間小于一個(gè)關(guān)于輸入長(zhǎng)度的多項(xiàng)式，我們也說(shuō)這個(gè)算法可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決這個(gè)問(wèn)題。這里牽涉的是算法的時(shí)間復(fù)雜度，“快”不是絕對(duì)意義上的，只是從級(jí)數(shù)上（主要是和指數(shù)級(jí)）的比較。 P的正式稱呼是“確定性圖靈機(jī)多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度”，而NP則是“非確定性圖靈機(jī)多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度”。在理論計(jì)算機(jī)中，“判定問(wèn)題”是這樣的一類問(wèn)題，對(duì)于某個(gè)輸入，我們只需要輸出“是”或者“否”作為答案。P和NP都是判定問(wèn)題所組成的集合。如果對(duì)于一個(gè)判定問(wèn)題，存在一個(gè)能在多項(xiàng)式時(shí)間解決它的算法，那么這個(gè)判定問(wèn)題就在P中。如果對(duì)一個(gè)判定問(wèn)題，存在一個(gè)算法，對(duì)于一個(gè)肯定的輸入，都有一個(gè)“旁證”，而算法可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)利用旁證對(duì)這個(gè)輸入進(jìn)行正確的肯定判定，那么這個(gè)判定問(wèn)題就在NP中。 P vs NP問(wèn)題，問(wèn)的正是P是否等同于NP。我們知道，NP包含P，但是在NP中有一類叫NP-完全的問(wèn)題，至今都沒(méi)有算法可以容易地解決它們。如果這些問(wèn)題中有一個(gè)屬于P的話，NP就等于P；否則，NP就不等于P。P vs NP問(wèn)題在理論計(jì)算機(jī)中占有重要的地位，雖然至今為止還沒(méi)有人確切證明出P是否等于NP，但是主流的推測(cè)是P不等于NP，很多應(yīng)用算法就是基于這樣的假設(shè)，而許多加密算法的保密性也是建立在P!=NP的前提上的，比如說(shuō)著名的RSA。P vs NP問(wèn)題的解決無(wú)論對(duì)于理論還是實(shí)踐都有很大的影響。 Vinay Deolalikar的證明橫跨了統(tǒng)計(jì)、邏輯、統(tǒng)計(jì)物理、計(jì)算復(fù)雜度等學(xué)科。他從一個(gè)NP-完全問(wèn)題——可滿足性問(wèn)題（SAT）——入手，嘗試證明沒(méi)有算法可以容易地解決這個(gè)判定問(wèn)題。他先將問(wèn)題的解的統(tǒng)計(jì)特性與一個(gè)邏輯模型聯(lián)系起來(lái)，再利用邏輯模型得到一個(gè)對(duì)算法計(jì)算時(shí)間的限制。然后他用統(tǒng)計(jì)物理的工具，得到了對(duì)一類輸入——隨機(jī)kSAT輸入——的解的統(tǒng)計(jì)特性，將這個(gè)統(tǒng)計(jì)特性注入此前的邏輯模型中，他證明了對(duì)隨機(jī)kSAT輸入，沒(méi)有算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決可滿足性問(wèn)題，從而證明P不等于NP。現(xiàn)在仍不能確定Vinay Deolalikar的證明是否正確。他已將證明用電子郵件發(fā)到數(shù)位不同領(lǐng)域的專家手上審核。在惠普實(shí)驗(yàn)室他的個(gè)人頁(yè)面上，他發(fā)表了一個(gè)聲明，澄清在網(wǎng)上泄露的證明只是初稿，專家的審核尚未完畢，一個(gè)最終的版本會(huì)在近期內(nèi)發(fā)布。盡管P vs NP相當(dāng)困難，此前也有不少人對(duì)它進(jìn)行過(guò)失敗的嘗試，但對(duì)于這個(gè)來(lái)自這個(gè)領(lǐng)域研究人員的證明還是有希望的，讓我們拭目以待。

誰(shuí)能具體介紹一下P vs NP

4，什么是P問(wèn)題NP問(wèn)題和NPC問(wèn)題

如果一個(gè)問(wèn)題可以找到一個(gè)能在多項(xiàng)式的時(shí)間里解決它的算法，那么這個(gè)問(wèn)題就屬于p問(wèn)題。p是英文單詞多項(xiàng)式的第一個(gè)字母。哪些問(wèn)題是p類問(wèn)題呢？通常noi和noip不會(huì)出不屬于p類問(wèn)題的題目。我們常見(jiàn)到的一些信息奧賽的題目都是p問(wèn)題。道理很簡(jiǎn)單，一個(gè)用窮舉換來(lái)的非多項(xiàng)式級(jí)時(shí)間的超時(shí)程序不會(huì)涵蓋任何有價(jià)值的算法。np問(wèn)題不是非p類問(wèn)題。np問(wèn)題是指可以在多項(xiàng)式的時(shí)間里驗(yàn)證一個(gè)解的問(wèn)題。np問(wèn)題的另一個(gè)定義是，可以在多項(xiàng)式的時(shí)間里猜出一個(gè)解的問(wèn)題。之所以要定義np問(wèn)題，是因?yàn)橥ǔＶ挥衝p問(wèn)題才可能找到多項(xiàng)式的算法。我們不會(huì)指望一個(gè)連多項(xiàng)式地驗(yàn)證一個(gè)解都不行的問(wèn)題存在一個(gè)解決它的多項(xiàng)式級(jí)的算法。相信讀者很快明白，信息學(xué)中的號(hào)稱最困難的問(wèn)題——“np問(wèn)題”，實(shí)際上是在探討np問(wèn)題與p類問(wèn)題的關(guān)系。很顯然，所有的p類問(wèn)題都是np問(wèn)題。也就是說(shuō)，能多項(xiàng)式地解決一個(gè)問(wèn)題，必然能多項(xiàng)式地驗(yàn)證一個(gè)問(wèn)題的解——既然正解都出來(lái)了，驗(yàn)證任意給定的解也只需要比較一下就可以了。關(guān)鍵是，人們想知道，是否所有的np問(wèn)題都是p類問(wèn)題。我們可以再用集合的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)明。如果把所有p類問(wèn)題歸為一個(gè)集合p中，把所有np問(wèn)題劃進(jìn)另一個(gè)集合np中，那么，顯然有p屬于np?，F(xiàn)在，所有對(duì)np問(wèn)題的研究都集中在一個(gè)問(wèn)題上，即究竟是否有p=np？通常所謂的“np問(wèn)題”，其實(shí)就一句話：證明或推翻p=np。npc問(wèn)題的定義非常簡(jiǎn)單。同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的問(wèn)題就是npc問(wèn)題。首先，它得是一個(gè)np問(wèn)題；然后，所有的np問(wèn)題都可以約化到它。證明一個(gè)問(wèn)題是npc問(wèn)題也很簡(jiǎn)單。先證明它至少是一個(gè)np問(wèn)題，再證明其中一個(gè)已知的npc問(wèn)題能約化到它這樣就可以說(shuō)它是npc問(wèn)題了。

1、P問(wèn)題P是一個(gè)判定問(wèn)題類,這些問(wèn)題可以用一個(gè)確定性算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)判定或解出。如果一個(gè)判定性問(wèn)題的復(fù)雜度是該問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例的規(guī)模n的多項(xiàng)式函數(shù)，則我們說(shuō)這種可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決的判定性問(wèn)題屬于P類問(wèn)題。P類問(wèn)題就是所有復(fù)雜度為多項(xiàng)式時(shí)間的問(wèn)題的集合。NP是一個(gè)判定問(wèn)題類,這些問(wèn)題可以用一個(gè)確定算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)檢查或驗(yàn)證出它們的解;P事實(shí)上很直觀,我們通常在編程中求解的問(wèn)題大多都是P類問(wèn)題.比如說(shuō)排序,找最短路徑等.2、NP問(wèn)題然而有些問(wèn)題很難找到多項(xiàng)式時(shí)間的算法（或許根本不存在），比如找出無(wú)向圖中的哈米爾頓回路問(wèn)題，但是我們發(fā)現(xiàn)如果給了我們?cè)搯?wèn)題的一個(gè)答案，我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)判斷這個(gè)答案是否正確。比如說(shuō)對(duì)于哈米爾頓回路問(wèn)題，給一個(gè)任意的回路，我們很容易判斷他是否是哈米爾頓回路（只要看是不是所有的頂點(diǎn)都在回路中就可以了）。這種可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證一個(gè)解是否正確的問(wèn)題稱為NP問(wèn)題。顯然，所有的P類問(wèn)題都是屬于NP問(wèn)題的，但是現(xiàn)在的問(wèn)題是，P是否等于NP?這個(gè)問(wèn)題至今還未解決。NP這個(gè)類事實(shí)上也很有趣,它并不要求給出一個(gè)算法來(lái)求解問(wèn)題本身,而只是要求給出一個(gè)確定性算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證它的解.3、NP完全問(wèn)題此外請(qǐng)注意，NP問(wèn)題不一定都是難解的問(wèn)題，比如，簡(jiǎn)單的數(shù)組排序問(wèn)題是P類問(wèn)題，但是P屬于NP，所以也是NP問(wèn)題，你能說(shuō)他很難解么？剛才說(shuō)了，現(xiàn)在還不知道是否有P=NP或者P<>NP，但是后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)還有一系列的特殊NP問(wèn)題，這類問(wèn)題的特殊性質(zhì)使得很多人相信P<>NP，只不過(guò)現(xiàn)在還無(wú)法證明。這類特殊的NP問(wèn)題就是NP完全問(wèn)題（NPC問(wèn)題，C代表complete）。NP完全問(wèn)題是求NP中判定問(wèn)題的一個(gè)子類.NPC問(wèn)題存在著一個(gè)令人驚訝的性質(zhì)，即如果一個(gè)NPC問(wèn)題存在多項(xiàng)式時(shí)間的算法，則所有的NP問(wèn)題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解，即P=NP成立！！這是因?yàn)?，每一個(gè)NPC問(wèn)題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化成任何一個(gè)NP問(wèn)題。比如前面說(shuō)的哈米爾頓回路問(wèn)題就是一個(gè)NPC問(wèn)題。NPC問(wèn)題的歷史并不久，cook在1971年找到了第一個(gè)NPC問(wèn)題，此后人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)很多NPC問(wèn)題，現(xiàn)在可能已經(jīng)有3000多個(gè)了。所以，我們一般認(rèn)為NPC問(wèn)題是難解的問(wèn)題，因?yàn)樗惶赡艽嬖谝粋€(gè)多項(xiàng)式時(shí)間的算法（如果存在則所有的NP問(wèn)題都存在多項(xiàng)式時(shí)間算法，這太不可思議了，但是也不是不可能）。類似哈米爾頓回路/路徑問(wèn)題，貨郎擔(dān)問(wèn)題，集團(tuán)問(wèn)題，最小邊覆蓋問(wèn)題（注意和路徑覆蓋的區(qū)別），等等很多問(wèn)題都是NPC問(wèn)題，所以都是難解的問(wèn)題。

5，NP的潛規(guī)則

NP問(wèn)題一個(gè)NP－完全的問(wèn)題具有如下性質(zhì)：它可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解，當(dāng)且僅當(dāng)所有的其他的NP－完全問(wèn)題也可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解。 P是所有可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)用確定算法求解的判定問(wèn)題的集合。NP是所有可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)用不確定算法求解的判定問(wèn)題的集合。令L1和L2是兩個(gè)問(wèn)題，如果有一確定的多項(xiàng)式時(shí)間算法求解L1，而這個(gè)算法使用了一個(gè)在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解L2的確定算法，則稱L1約化為L(zhǎng)2。如果可滿足性約化為一個(gè)問(wèn)題L，則稱L問(wèn)題是NP-難度的。如果L是NP難度的且L（－NP，則稱L是NP－完全的。 NP并不是NON-POLYNOMIAL，把NP說(shuō)成是NON-POLYNOMIAL，是望文生義，讀書不求甚解。事實(shí)上，如果你能夠證明某個(gè) NP問(wèn)題是個(gè)NON-POLYNOMIAL的問(wèn)題，你就可以去領(lǐng)那七個(gè) 百萬(wàn)美元數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)中間的一個(gè)了。數(shù)學(xué)上著名的NP問(wèn)題，完整的叫法是NP完全問(wèn)題，也即 “NP COMPLETE”問(wèn)題，簡(jiǎn)單的寫法，是 NP=P？的問(wèn)題。問(wèn)題就在這個(gè)問(wèn)號(hào)上，到底是NP等于P，還是NP不等於P。證明其中之一，便可以拿百萬(wàn)美元大獎(jiǎng)。這個(gè)獎(jiǎng)還沒(méi)有人拿到，也就是說(shuō)，NP問(wèn)題到底是Polynomial，還是Non-Polynomial，尚無(wú)定論。Mr. X信口開(kāi)河敢說(shuō)NP就是 Non-Polynomial，真是不知天高地厚，惹人笑話。 NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic， P代表Polynomial倒是對(duì)的。NP就是Non-deterministic Polynomial 的問(wèn)題，也即是多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問(wèn)題。什么是非確定性問(wèn)題呢？有些計(jì)算問(wèn)題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導(dǎo)，按部就班一步步來(lái)，就可以得到結(jié)果。但是，有些問(wèn)題是無(wú)法按部就班直接地計(jì)算出來(lái)。比如，找大質(zhì)數(shù)的問(wèn)題。有沒(méi)有一個(gè)公式，你一套公式，就可以一步步推算出來(lái)，下一個(gè)質(zhì)數(shù)應(yīng)該是多少呢？這樣的公式是沒(méi)有的。再比如，大的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù) 的問(wèn)題，有沒(méi)有一個(gè)公式，把合數(shù)代進(jìn)去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒(méi)有這樣的公式。這種問(wèn)題的答案，是無(wú)法直接計(jì)算得到的，只能通過(guò)間接的“猜算”來(lái)得到結(jié)果。這也就是非確定性問(wèn)題。而這些問(wèn)題的通常有個(gè)算法，它不能直接告訴你答案是什么，但可以告訴你，某個(gè)可能的結(jié)果是正確的答案還是錯(cuò)誤的。這個(gè)可以告訴你“猜算”的答案正確與否的算法，假如可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)算出來(lái)，就叫做多項(xiàng)式非確定性問(wèn)題。而如果這個(gè)問(wèn)題的所有可能答案，都是可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi) 進(jìn)行正確與否的驗(yàn)算的話，就叫完全多項(xiàng)式非確定問(wèn)題。完全多項(xiàng)式非確定性問(wèn)題可以用窮舉法得到答案，一個(gè)個(gè) 檢驗(yàn)下去，最終便能得到結(jié)果。但是這樣算法的復(fù)雜程度，是指數(shù)關(guān)系，因此計(jì)算的時(shí)間隨問(wèn)題的復(fù)雜程度成指數(shù)的增長(zhǎng)，很快便變得不可計(jì)算了。人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項(xiàng)式非確定性問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問(wèn)題的邏輯運(yùn)算問(wèn)題。既然這類問(wèn)題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)計(jì)算，人們於是就猜想，是否這類問(wèn)題，存在一個(gè)確定性算法，可以在指數(shù) 時(shí)間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。解決這個(gè)猜想，無(wú)非兩種可能，一種是找到一個(gè)這樣的算法，只要針對(duì)某個(gè)特定NP完全問(wèn)題找到一個(gè)算法，所有這類問(wèn)題都可以迎刃而解了，因?yàn)樗麄兛梢赞D(zhuǎn)化為同一個(gè)問(wèn)題。另外的一種可能，就是這樣的算法是不存在的。那么就要從數(shù)學(xué) 理論上證明它為什么不存在。前段時(shí)間轟動(dòng)世界的一個(gè)數(shù)學(xué)成果，是幾個(gè)印度人提出了一個(gè) 新算法，可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)，證明某個(gè)數(shù)是或者不是質(zhì)數(shù)，而在這之前，人們認(rèn)為質(zhì)數(shù)的證明，是個(gè)非多項(xiàng)式問(wèn)題。可見(jiàn)，有些看來(lái)好像是非多項(xiàng)式的問(wèn)題，其實(shí)是多項(xiàng)式問(wèn)題，只是人們一時(shí)還不知道它的多項(xiàng)式解而已。

樓上說(shuō)的什么啊看不懂啊就是做嗎當(dāng)然1個(gè)換1個(gè)了安全么是把

6，什么是PNPNPCNPhard問(wèn)題

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什么是np問(wèn)題概念1:在計(jì)算機(jī)學(xué)科中，存在多項(xiàng)式時(shí)間的算法的一類問(wèn)題，稱之為p類問(wèn)題；而像梵塔問(wèn)題、推銷員旅行問(wèn)題、（命題表達(dá)式）可滿足問(wèn)題這類，至今沒(méi)有找到多項(xiàng)式時(shí)間算法解的一類問(wèn)題，稱之為np類問(wèn)題。概念2:多項(xiàng)式時(shí)間（polynomial time）在計(jì)算復(fù)雜度理論中，指的是一個(gè)問(wèn)題的計(jì)算時(shí)間m(n)不大于問(wèn)題大小n的多項(xiàng)式倍數(shù)。任何抽象機(jī)器都擁有一復(fù)雜度類，此類包括可于此機(jī)器以多項(xiàng)式時(shí)間求解的問(wèn)題。以數(shù)學(xué)描述的話，則可說(shuō)m(n) = o(n)，此n為一常數(shù)值（依問(wèn)題而定）拿推銷員旅行問(wèn)題為例，假設(shè)推銷員亨利有向6個(gè)城市推銷公司產(chǎn)品的任務(wù)，并規(guī)定了一個(gè)旅行預(yù)算。他手中有一張航班票價(jià)表，他要從a城開(kāi)始走遍圖中的6個(gè)城市后返回a城，并且不超出預(yù)算，請(qǐng)你幫他找出應(yīng)走的路線。如果給出的預(yù)算寬裕，則任務(wù)很簡(jiǎn)單；如果預(yù)算比較緊張，你就得認(rèn)真設(shè)計(jì)路線了。你得考慮每一種可能的次序，以使旅費(fèi)最少。而np問(wèn)題中最困難的問(wèn)題稱之為np完全問(wèn)題(np-complete)，已經(jīng)證明的包括：電話網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)幾何設(shè)計(jì)、格子棋的最佳走法。根據(jù)庫(kù)克定理，任意一個(gè)np完全問(wèn)題如果能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，則所有的np問(wèn)題都能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，而至今這一問(wèn)題仍無(wú)答案。什么是非確定性問(wèn)題呢？有些計(jì)算問(wèn)題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導(dǎo)，按部就班一步步來(lái)，就可以得到結(jié)果。但是，有些問(wèn)題是無(wú)法按部就班直接地計(jì)算出。比如，找大質(zhì)數(shù)的問(wèn)題。有沒(méi)有一個(gè)公式，你一套公式，就可以一步步推算出來(lái)，下一個(gè)質(zhì)數(shù)應(yīng)該是多少呢？這樣的公式是沒(méi)有的。再比如，大的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的問(wèn)題，有沒(méi)有一個(gè)公式，把合數(shù)代進(jìn)去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒(méi)有這樣的公式。這種問(wèn)題的答案，是無(wú)法直接計(jì)算得到的，只能通過(guò)間接的“猜算”來(lái)得到結(jié)果。這也就是非確定性問(wèn)題。而這些問(wèn)題的通常有個(gè)算法，它不能直接告訴你答案是什么，但可以告訴你，某個(gè)可能的結(jié)果是正確的答案還是錯(cuò)誤的。這個(gè)可以告訴你“猜算”的答案正確與否的算法，假如可以在多項(xiàng)式時(shí)間（多項(xiàng)式時(shí)間：運(yùn)行時(shí)間最多是輸入量的多項(xiàng)式函數(shù)）內(nèi)算出來(lái)，就叫做多項(xiàng)式非確定性問(wèn)題。而如果這個(gè)問(wèn)題的所有可能答案，都是可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)進(jìn)行正確與否的驗(yàn)算的話，就叫完全多項(xiàng)式非確定問(wèn)題。完全多項(xiàng)式非確定性問(wèn)題可以用窮舉法得到答案，一個(gè)個(gè)檢驗(yàn)下去，最終便能得到結(jié)果。但是這樣算法的復(fù)雜程度，是指數(shù)關(guān)系，因此計(jì)算的時(shí)間隨問(wèn)題的復(fù)雜程度成指數(shù)的增長(zhǎng)，很快便變得不可計(jì)算了。人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項(xiàng)式非確定性問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問(wèn)題的邏輯運(yùn)算問(wèn)題。既然這類問(wèn)題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)計(jì)算，人們於是就猜想，是否這類問(wèn)題，存在一個(gè)確定性算法，可以在指數(shù)時(shí)間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的np=p？的猜想。解決這個(gè)猜想，無(wú)非兩種可能，一種是找到一個(gè)這樣的算法，只要針對(duì)某個(gè)特定np完全問(wèn)題找到一個(gè)算法，所有這類問(wèn)題都可以迎刃而解了，因?yàn)樗麄兛梢赞D(zhuǎn)化為同一個(gè)問(wèn)題。另外的一種可能，就是這樣的算法是不存在的。那么就要從數(shù)學(xué)理論上證明它為什么不存在。前段時(shí)間轟動(dòng)世界的一個(gè)數(shù)學(xué)成果，是幾個(gè)印度人提出了一個(gè)新算法，可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)，證明某個(gè)數(shù)是或者不是質(zhì)數(shù)，而在這之前，人們認(rèn)為質(zhì)數(shù)的證明，是個(gè)非多項(xiàng)式問(wèn)題?？梢?jiàn)，有些看來(lái)好象是非多項(xiàng)式的問(wèn)題，其實(shí)是多項(xiàng)式問(wèn)題，只是人們一時(shí)還不知道它的多項(xiàng)式解而已。什么叫做np問(wèn)題，什么叫做npc問(wèn)題?首先說(shuō)明一下問(wèn)題的復(fù)雜性和算法的復(fù)雜性的區(qū)別，下面只考慮時(shí)間復(fù)雜性。算法的復(fù)雜性是指解決問(wèn)題的一個(gè)具體的算法的執(zhí)行時(shí)間，這是算法的性質(zhì)；問(wèn)題的復(fù)雜性是指這個(gè)問(wèn)題本身的復(fù)雜程度，是問(wèn)題的性質(zhì)。比如對(duì)于排序問(wèn)題，如果我們只能通過(guò)元素間的相互比較來(lái)確定元素間的相互位置，而沒(méi)有其他的附加可用信息，則排序問(wèn)題的復(fù)雜性是o(nlgn)，但是排序算法有很多，冒泡法是o(n^2)，快速排序平均情況下是o(nlgn)等等，排序問(wèn)題的復(fù)雜性是指在所有的解決該問(wèn)題的算法中最好算法的復(fù)雜性。問(wèn)題的復(fù)雜性不可能通過(guò)枚舉各種可能算法來(lái)得到，一般都是預(yù)先估計(jì)一個(gè)值，然后從理論上證明。為了研究問(wèn)題的復(fù)雜性，我們必須將問(wèn)題抽象，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們只考慮一類簡(jiǎn)單的問(wèn)題，判定性問(wèn)題，即提出一個(gè)問(wèn)題，只需要回答yes或者no的問(wèn)題。任何一般的最優(yōu)化問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為一系列判定性問(wèn)題，比如求圖中從a到b的最短路徑，可以轉(zhuǎn)化成：從a到b是否有長(zhǎng)度為1的路徑？從a到b是否有長(zhǎng)度為2的路徑？。。。從a到b是否有長(zhǎng)度為k的路徑？如果問(wèn)到了k的時(shí)候回答了yes，則停止發(fā)問(wèn)，我們可以說(shuō)從a到b的最短路徑就是k。如果一個(gè)判定性問(wèn)題的復(fù)雜度是該問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例的規(guī)模n的多項(xiàng)式函數(shù)，則我們說(shuō)這種可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決的判定性問(wèn)題屬于p類問(wèn)題。p類問(wèn)題就是所有復(fù)雜度為多項(xiàng)式時(shí)間的問(wèn)題的集合。然而有些問(wèn)題很難找到多項(xiàng)式時(shí)間的算法（或許根本不存在），比如找出無(wú)向圖中的哈米爾頓回路問(wèn)題，但是我們發(fā)現(xiàn)如果給了我們?cè)搯?wèn)題的一個(gè)答案，我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)判斷這個(gè)答案是否正確。比如說(shuō)對(duì)于哈米爾頓回路問(wèn)題，給一個(gè)任意的回路，我們很容易判斷他是否是哈米爾頓回路（只要看是不是所有的頂點(diǎn)都在回路中就可以了）。這種可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證一個(gè)解是否正確的問(wèn)題稱為np問(wèn)題。顯然，所有的p類問(wèn)題都是屬于np問(wèn)題的，但是現(xiàn)在的問(wèn)題是，p是否等于np?這個(gè)問(wèn)題至今還未解決。注意，np問(wèn)題不一定都是難解的問(wèn)題，比如簡(jiǎn)單的數(shù)組排序問(wèn)題是p類問(wèn)題，但是p屬于np，所以也是np問(wèn)題，你能說(shuō)他很難解么？剛才說(shuō)了，現(xiàn)在還不知道是否有p=np或者p<>np，但是后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)還有一系列的特殊np問(wèn)題，這類問(wèn)題的特殊性質(zhì)使得很多人相信p<>np，只不過(guò)現(xiàn)在還無(wú)法證明。這類特殊的np問(wèn)題就是np完全問(wèn)題（npc問(wèn)題，c代表complete）。npc問(wèn)題存在著一個(gè)令人驚訝的性質(zhì)，即如果一個(gè)npc問(wèn)題存在多項(xiàng)式時(shí)間的算法，則所有的np問(wèn)題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解，即p=np成立??！這是因?yàn)?，每一個(gè)npc問(wèn)題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化成任何一個(gè)np問(wèn)題。比如前面說(shuō)的哈米爾頓回路問(wèn)題就是一個(gè)npc問(wèn)題。npc問(wèn)題的歷史并不久，cook在1971年找到了第一個(gè)npc問(wèn)題，此后人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)很多npc問(wèn)題，現(xiàn)在可能已經(jīng)有3000多個(gè)了。所以，我們一般認(rèn)為npc問(wèn)題是難解的問(wèn)題，因?yàn)樗惶赡艽嬖谝粋€(gè)多項(xiàng)式時(shí)間的算法（如果存在則所有的np問(wèn)題都存在多項(xiàng)式時(shí)間算法，這太不可思議了，但是也不是不可能）。類似哈米爾頓回路/路徑問(wèn)題，貨郎擔(dān)問(wèn)題，集團(tuán)問(wèn)題，最小邊覆蓋問(wèn)題（注意和路徑覆蓋的區(qū)別），等等很多問(wèn)題都是npc問(wèn)題，所以都是難解的問(wèn)題。