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傅立葉變換性質(zhì)，傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)

來源：整理時(shí)間：2024-11-09 02:46:52 編輯：智能門戶手機(jī)版

本文目錄一覽

1，傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)
2，什么是傅里葉變換
3，簡(jiǎn)介一下傅立葉變換
4，傅里葉變換的概念
5，傅里葉變換求積分利用傅里葉變換性質(zhì)求解
6，如何理解傅立葉變換

1，傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)

傅里葉變換是做空間域跟頻域的變換用的,比如后續(xù)的卷積運(yùn)算,如果單純的空間域是卷積,但復(fù)頻域就是乘法了,比較方便計(jì)算.

傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)

2，什么是傅里葉變換

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

什么是傅里葉變換

3，簡(jiǎn)介一下傅立葉變換

一種線性的積分變換，常在將信號(hào)在時(shí)域（或空域）和頻域之間變換時(shí)使用，在物理學(xué)和工程學(xué)中有許多應(yīng)用。因其基本思想首先由法國(guó)學(xué)者約瑟夫·傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀(jì)念。

信號(hào)處理的本質(zhì)是對(duì)信號(hào)進(jìn)行我們需求的優(yōu)化或者提取，得到有用的，去掉無用的，并且要將信號(hào)要傳遞的消息正確的表達(dá)出來。傅里葉變換的意義是將信號(hào)用時(shí)間域變換到了頻率域，為我們從頻率上處理信號(hào)提供了理論依據(jù)。

簡(jiǎn)介一下傅立葉變換

4，傅里葉變換的概念

傅立葉變換是一種分析信號(hào)的方法，它可分析信號(hào)的成分，也可用這些成分合成信號(hào)。許多波形可作為信號(hào)的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號(hào)的成分。 f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個(gè)以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個(gè)單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點(diǎn)上，函數(shù)是有限值；在一個(gè)周期內(nèi)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對(duì)可積。則有下圖①式成立。稱為積分運(yùn)算f(t)的傅立葉變換，②式的積分運(yùn)算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函數(shù)，f(t)叫做F(ω)的像原函數(shù)。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。①傅立葉變換 ②傅立葉逆變換 * 傅里葉變換屬于諧波分析。* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;* 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲??；*卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；* 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)).

5，傅里葉變換求積分利用傅里葉變換性質(zhì)求解

你好！令f(t) = 1，|t|≤a = 0，|t|>af(t)的傅氏變換 F(ω) = ∫<-∞,+∞> f(t) e^(-iωt) dt= ∫<-a,a> e^(-iωt) dt = 2sinaω /ω傅氏積分 1/(2π) ∫<-∞,+∞> F(ω) e^(iωt) dω= 1/(2π) ∫<-∞,+∞> 2sinaω /ω *e^(iωt) dω= 1/π ∫<-∞,+∞> sinaω /ω *cosωt dω= 1，|t|<a 1/2，|t|=a 0，|t|>a取t=0 得 1/π ∫<-∞,+∞> sinaω / ω dω = 1即 ∫<-∞,+∞> sinaω / (aω) dω = π/a

∫xsin3x dx= ∫x(1-cos2x)sinx dx= ∫xsinx dx - ∫xcos2xsinx dx= ∫xsinx dx - (1/2)∫x(1+cos2x)sinx dx= ∫xsinx dx - (1/2)∫xsinx dx - (1/2)∫xsinxcos2x dx= (1/2)∫xsinx dx - (1/4)∫x(sin3x-sinx) dx= (1/2)∫xsinx dx - (1/4)∫xsin3x dx + (1/4)∫xsinx dx= -(3/4)∫x dcosx + (1/4)(1/3)∫x dcos3x= -(3/4)xcosx + (3/4)∫cosx dx + (1/12)xcos3x - (1/12)∫cos3x dx= -(3/4)xcosx + (3/4)sinx + (1/12)xcos3x - (1/36)sin3x + c

6，如何理解傅立葉變換

傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個(gè)連續(xù)的信號(hào)可以看作是一個(gè)個(gè)小信號(hào)的疊加，從時(shí)域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號(hào)，將信號(hào)這么分解后有助于處理。我們?cè)瓉韺?duì)一個(gè)信號(hào)其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺中，其實(shí)是按照時(shí)間把信號(hào)進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值，一個(gè)信號(hào)是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個(gè)小信號(hào)是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào)，但他確有固定的周期，或者說，給了一個(gè)周期，我們就能畫出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào)，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對(duì)應(yīng)的曲線，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一樣，不過如果信號(hào)是周期的話，頻域的更簡(jiǎn)單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式。它的公式會(huì)用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。以上都是自己一年前的理解，有的可能不夠準(zhǔn)確，如果你有什么問題，可以發(fā)消息給我，不過這個(gè)要想真的弄懂，還得自己去理解，我是在學(xué)了傅里葉變換幾年以后才理解的，但是這是知道怎么用，直到后來自己做畢業(yè)設(shè)計(jì)，才真正理解了一點(diǎn)它的內(nèi)涵。

早期的數(shù)學(xué)以微積分為主。微分方程的計(jì)算過程通常都是非常復(fù)雜的。有時(shí)很難求解。后來出現(xiàn)了變換域解法，講微積分變成有理式的加減乘除運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了微積分方程求解方法。這就是拉普拉斯變換。拉普拉斯變換能將時(shí)域問題變換到s域，時(shí)域微積分變成s域的乘除運(yùn)算。傅立葉變換是拉普拉斯變換的簡(jiǎn)化版本。只保留了s域虛軸(即iω)對(duì)應(yīng)的分量。傅立葉變換舍棄了瞬態(tài)解，只保留了穩(wěn)態(tài)解。穩(wěn)態(tài)解在基礎(chǔ)電工學(xué)，力學(xué)等學(xué)科中，很常用，足夠滿足解決實(shí)際問題的需要。z變換則是另一種變換域方法，用于解決差分方程。差分是微分的近似，方便計(jì)算機(jī)處理，用途也是非常廣泛。z變換能將時(shí)域的差分，變換成z域的加減乘除，大大簡(jiǎn)化了差分方程的求解。

傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號(hào)中振幅較大（能量較高）信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時(shí)，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷。

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