級數(shù)展開，微積分級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式

來源：整理時間：2024-11-08 17:29:41 編輯：智能門戶手機(jī)版

1，微積分級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式

先寫出arctanx的變上限積分表達(dá)式(書上都有),再把被積函數(shù)用冪級數(shù)展開,交換積分號和求和號就得到但注意交換積分號和求和號是有條件的,要有一致收斂性保證,你可以查閱下相關(guān)的資料.

微積分級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式

2，冪級數(shù)怎么展開

函數(shù)冪級數(shù)的展開式

冪級數(shù)怎么展

還是我來解釋吧。我們常用泰勒公式把函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)的形式，通常會說在x=x0處展開，這首先要滿足函數(shù)在領(lǐng)域(x0,δ）有定義，有直到n階的導(dǎo)數(shù)f(x0)，這樣我們就可以在x=x0處用taylor公式展開了。當(dāng)然如果在x=0處滿足上面的條件，那么可以在x=0處展開，這就是所謂的馬克勞林公式，是泰勒公式的特殊情況。我們常用的初等函數(shù)冪級數(shù)表就是在x=0處展開的。

冪級數(shù)怎么展開

3，如何將函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)

積分求a0,an,bn然后 1/2a0+ancosnpi+bnsinnpi

、冪級數(shù)，英文是 power series，沒有負(fù)冪次，除了可能有一個常數(shù)項外，其余都是正次冪。 2、我們平常喜歡將泰勒級數(shù)、級數(shù)混為一談。級數(shù)(mclaurin series)，是在x=0附近展開；泰勒級數(shù)(taylor series)，是在任意點附近展開。這兩個都是冪級數(shù)，通常沒有具體指明在哪點展開時，都是指級數(shù)。 3、復(fù)變函數(shù)里面的級數(shù)展開，確實是有朗洛級數(shù)(laurent series)，也確實是有負(fù)冪次。但是，平常的冪級數(shù)展開不是指朗洛級數(shù)，因為平常的函數(shù)既不可能有虛數(shù)，又不可能有奇點、、、、、 4、級數(shù)展開的好處： a、作為級數(shù)求和的反向運算，理論上整合成一個理論的兩方面； b、跟導(dǎo)數(shù)、積分、極限理論，形成了一個整體。 ---級數(shù)的計算離不開極限； ---導(dǎo)數(shù)、定積分的聯(lián)合運用，能解決級數(shù)的求和，積分的理論，就是求和理論，級數(shù)求和也是積分求和理論的一部分； ---展開的過程更是求導(dǎo)理論運用。 c、在科學(xué)、工程上，作為實用性的估算(estimation)； d、在工程上，更是一種擬合、模擬手段，simulating，尤其在擴(kuò)展到傅立葉級數(shù)時，就成了載波通訊的理論根據(jù)。 e、擴(kuò)展到復(fù)數(shù)范圍，小的方面是解決了很多無法不定積分，

如何將函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)

4，常用函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式

常用的函數(shù)的麥克勞林級數(shù)如下：麥克勞林級數(shù)(Maclaurin series)是函數(shù)在x=0處的泰勒級數(shù)，它是牛頓(I.Newton)的學(xué)生麥克勞林(C.Maclaurin)于1742年給出的，用來證明局部極值的充分條件，他自己說明這是泰勒級數(shù)的特例，但后人卻加了麥克勞林級數(shù)這個名稱。擴(kuò)展資料：麥克勞林級數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù)的收斂半徑R>0，當(dāng)n→∞時，如果函數(shù)f(x)在任一固定點x處的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)有界，則函數(shù)f(x)在收斂區(qū)間(-R，R)內(nèi)能展開成麥克勞林級數(shù)。利用麥克勞林級數(shù)展開函數(shù)，需要求高階導(dǎo)數(shù)，比較麻煩，如果能利用已知函數(shù)的展開式，根據(jù)冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)，將所給的函數(shù)展開成冪級數(shù)。

常用的函數(shù)的麥克勞林級數(shù)如下：麥克勞林級數(shù)（Maclaurin series)是函數(shù)在x=0處的泰勒級數(shù)，它是牛頓（I.Newton)的學(xué)生麥克勞林（C.Maclaurin)于1742年給出的，用來證明局部極值的充分條件，他自己說明這是泰勒級數(shù)的特例，但后人卻加了麥克勞林級數(shù)這個名稱。麥克勞林簡介麥克勞林，Maclaurin(1698-1746),是18世紀(jì)英國最具有影響的數(shù)學(xué)家之一。1719年Maclaurin在訪問倫敦時見到了Newton，從此便成為了Newton的門生。1742年撰寫名著《流數(shù)論》，是最早為Newton流數(shù)方法做出了系統(tǒng)邏輯闡述的著作。他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數(shù)學(xué)說，還把級數(shù)作為求積分的方法，并獨立于Cauchy以幾何形式給出了無窮級數(shù)收斂的積分判別法。他得到數(shù)學(xué)分析中著名的Maclaurin級數(shù)展開式，并用待定系數(shù)法給予證明。他在代數(shù)學(xué)中的主要貢獻(xiàn)是在《代數(shù)論》（1748，遺著）中，創(chuàng)立了用行列式的方法求解多個未知數(shù)聯(lián)立線性方程組。但書中記敘法不太好，后來由另一位數(shù)學(xué)家Cramer又重新發(fā)現(xiàn)了這個法則，所以被稱為Cramer法則。

太多，輸入困難，請查數(shù)學(xué)手冊。

這個真麻煩，請見圖，常用的。

5，洛朗級數(shù)展開式

f(z)=1/5*[-z/(z2+1)+2/(z2+1)-1/(2-z)]。因為1<|z|<2，所以|z/2|<1，|1/z2|<1。前兩項，提出一個1/z2，化成-z/z2*1/(1+1/z2)和2/z2*1/(1+1/z2)。1/(1+1/z2)就用公式1/(1-z)=1+z+z2+...展開，用-1/z2去換z即可。第三項，提一個1/2，變成-1/2*1/(1-z/2)，同樣套上面的公式，只不過這次是用z/2去換z。三項都展開為冪級數(shù)之后，一般情況下你是沒有辦法合并成為一個冪級數(shù)的，所以一般來說寫到這一步就完成了。當(dāng)然你也可以把這個冪級數(shù)的前面幾項寫出來，后面打上省略號。擴(kuò)展資料：積分路徑γ是位于圓環(huán)A內(nèi)的一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，在這個圓環(huán)內(nèi)是全純的（解析的）。的洛朗級數(shù)展開式在這個圓環(huán)內(nèi)的任何地方都是正確的。在右邊的圖中，該環(huán)用紅色顯示，其內(nèi)有一合適的積分路徑。如果我們讓是一個圓，其中，這就相當(dāng)于要計算的限制到上的復(fù)傅里葉系數(shù)。這些積分不隨輪廓的變形而改變是斯托克斯定理的直接結(jié)果。在實踐中，上述的積分公式可能不是計算給定的函數(shù)系數(shù)最實用的方法；相反，人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數(shù)。因為函數(shù)的洛朗展開式只要存在就是唯一的，實際上在圓環(huán)中任何與相等的，以上述形式表示的給定函數(shù)的表達(dá)式一定就是的洛朗展開式。參考資料來源：百度百科-洛朗級數(shù)

(1)先裂項再展開成(z－i)的洛朗級數(shù)（2）分母提出(1－z)的3次方展開成1/(z－1)的洛朗級數(shù)過程如下：（3）裂項后分別展開成z/2和1/z的洛朗級數(shù)過程如下：

6，求函數(shù)在某點的無窮的級數(shù)展開

也可以展開成傅里葉級數(shù)法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱為傅里葉級數(shù)(法文：série de Fourier，或譯為傅里葉級數(shù))一種特殊的三角級數(shù)。形如　　　(1)的級數(shù)，其中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是與x無關(guān)的實數(shù)，稱為三角級數(shù)。特別,當(dāng)(1)中的系數(shù)αn，bn可通過某個函數(shù)?(x)用下列公式表示時，級數(shù)(1)稱為?的傅里葉級數(shù)：　　　(2)式中?是周期2π的可積函數(shù)，即?∈l(-π,π)。此時，由公式(2)得到的系數(shù)αn，bn稱為?的傅里葉系數(shù)。?的傅里葉級數(shù)記為 ?！　　?3)當(dāng)然,?的傅里葉級數(shù)并不一定收斂；即使收斂，也不一定收斂于?(x)。假如已知三角級數(shù)一致收斂于?(x)，即，那么雙方都乘以cosnx或sinnx后,在(－π,π)上可以逐項積分,由三角函數(shù)系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角級數(shù)(1)一致收斂于?(x)，級數(shù)(1)必為?的傅里葉級數(shù)。　　問題往往是，給定函數(shù)?,需要把它表示成三角級數(shù)(1)。J.-B.-J.傅里葉的建議是，利用公式(2),求出?的傅里葉系數(shù)αn,bn,就得到傅里葉級數(shù)(3)。可以證明,只要?滿足一定的條件,那么?的傅里葉級數(shù)σ【?】收斂于?。　　傅里葉級數(shù)的收斂判別法　常用的判別法有：　?、?迪尼判別法　對固定的點x，如有數(shù)s,使得函數(shù)φx(u)/u=(?(x+u)+?(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒貝格可積,則σ【?】在點x收斂于s。由此可知,當(dāng)?在點x連續(xù),并滿足李普希茨條件,即(0<u≤h)，那么σ【?】在x收斂于?(x)，其中M ，h，α均為正數(shù),且α≤1。另外，當(dāng)?(x)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)?┡(x)時,σ【?】一致收斂于?(x)。　?、?狄利克雷－若爾當(dāng)判別法　假設(shè)函數(shù)?在含有點x的某區(qū)間,例如［x-h,x+h］上分段單調(diào)，則?的傅里葉級數(shù)在點x收斂于(?(x+0)+?(x-0))/2。　　上面提到的收斂判別法，對函數(shù)所提的要求，都是充分條件，并非必要的。關(guān)于收斂性判別法，還有幾種。值得注意的是，至今還沒有收斂的充分且必要的條件。　　傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式　三角級數(shù)(1)還可用指數(shù)函數(shù)來表示。事實上,/2，（叿n表示сn的共軛復(fù)數(shù)）,那么級數(shù)(1)可寫成復(fù)數(shù)形式 , 　　　(4)這里,(4)的部分和Sn理解為。假如(1)是?的傅里葉級數(shù)，那么它的復(fù)數(shù)形式也是(4)，但系數(shù) 。　　　(5)上式表達(dá)的сn稱為?的復(fù)傅里葉系數(shù)，又稱?的傅里葉系數(shù)的復(fù)形式。　　傅里葉系數(shù)的重要性質(zhì) 　列舉下面兩條：　　① 若?(x∈l(-π,π),則?的傅里葉系數(shù)αn,bn（或сn），當(dāng)n→∞時趨于0，稱為黎曼-勒貝格定理。　?、?若?(x∈l(-π,π)，則有。這個等式稱為帕舍伐爾等式；反之假如　　三角級數(shù)與單位圓內(nèi)解析函數(shù)的關(guān)系設(shè)z=e(0≤x<2π)是復(fù)平面單位圓周上的點，于是級數(shù) 　　　(6)的實部就是三角級數(shù)(1)，虛部　　　(7)稱為三角級數(shù)(1)的共軛級數(shù)。假如(6)中的z表示單位圓內(nèi)的點,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是復(fù)變數(shù)z=re的冪級數(shù)，當(dāng)它收斂時，其和函數(shù)是單位圓內(nèi)的解析函數(shù)。所以三角級數(shù)(1)可以看做單位圓內(nèi)解析函數(shù)邊界值的實部。　　多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù) 設(shè)為m 維歐氏空間R的點，級數(shù) 　　　(8)稱為m元三角級數(shù)，其中，而n1,n2,…,nm為整數(shù)。假如?(x)＝?(x1,x2,…,xm)關(guān)于每個變量xi(1≤i≤m)都是周期為2π的周期函數(shù)，且在立方體 Q:-π ≤xj≤π　(j=1,2,…,m)　　　(9)上，?是勒貝格可積的。類似于(5)，如果(8)中系數(shù)那么稱(8)為?的傅里葉級數(shù)，并記為多元傅里葉系數(shù)也有類似于一元傅里葉系數(shù)的許多性質(zhì)，但多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)的許多問題，卻遠(yuǎn)較一元復(fù)雜。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明多元三角級數(shù)球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。　　傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。　　參考書目　A. Zygmund,Trigonometric Series，Vol. 1～2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.三角函數(shù)族的正交性所謂的兩個不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關(guān)的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：

形如∑a*(x-x0)^n的無窮級數(shù)稱為冪級數(shù)，n從幾開始無所謂，但一定是到∞，否則應(yīng)該叫多項式；冪級數(shù)中的系數(shù)a如果是：a=f^(x0)/n!，這個冪級數(shù)就稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒級數(shù)；任何一個函數(shù)的泰勒級數(shù)都是冪級數(shù)，但冪級數(shù)并不一定是某個函數(shù)的泰勒級數(shù)； f(x)在x0處的泰勒級數(shù)取前面有限多項，稱為f(x)在x0處的泰勒公式，如果取到a*(x-x0)^n這項為止，就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式； f(x)在x0處的泰勒級數(shù)與f(x)在x0處的泰勒公式的差，稱為f(x)在x0處的泰勒公式的余項，泰勒中值定理把這個余項表達(dá)成一個有限的式子，即拉格朗日型的余項。綜上所言冪級數(shù)和泰勒級數(shù)沒有本質(zhì)的區(qū)別！要求具有任意階導(dǎo)數(shù) 而泰勒公式則只要求有n+1階導(dǎo)數(shù)就可以展開成n階泰勒公式當(dāng)余項極限為0時可以展開成級數(shù)