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1，傅里葉解析
2，傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)
3，傅里葉變換有哪些重要的性質(zhì)
4，傅里葉變換的概念
5，為什么要進行傅立葉變換傅立葉變換究竟有何意義
6，傅里葉變換的應用

1，傅里葉解析

用英國的毫升理論

傅里葉解析

2，傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)

傅里葉變換是做空間域跟頻域的變換用的,比如后續(xù)的卷積運算,如果單純的空間域是卷積,但復頻域就是乘法了,比較方便計算.

傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)

3，傅里葉變換有哪些重要的性質(zhì)

1線性性2對稱性3相似性4平移性5像函數(shù)的平移性(頻移性)6微分性7像函數(shù)的微分性8積分性9卷積與卷積定理10乘積定理11能量積分

如圖。

傅里葉變換有哪些重要的性質(zhì)

4，傅里葉變換的概念

傅立葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號的成分。 f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點上，函數(shù)是有限值；在一個周期內(nèi)具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換，②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函數(shù)，f(t)叫做F(ω)的像原函數(shù)。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。①傅立葉變換 ②傅立葉逆變換 * 傅里葉變換屬于諧波分析。* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;* 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲?。?卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；* 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計算機快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)).

5，為什么要進行傅立葉變換傅立葉變換究竟有何意義

當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。傅立葉變換是數(shù)字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數(shù)學領域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。任意的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;4. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;5. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

6，傅里葉變換的應用

盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是，現(xiàn)代數(shù)學發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：傅里葉變換是線性算子，若賦予適當?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲?。? 著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)). 正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。有關傅里葉變換的FPGA實現(xiàn)傅里葉變換是數(shù)字信號處理中的基本操作，廣泛應用于表述及分析離散時域信號領域。但由于其運算量與變換點數(shù)N的平方成正比關系，因此，在N較大時，直接應用DFT算法進行譜變換是不切合實際的。然而，快速傅里葉變換技術(shù)的出現(xiàn)使情況發(fā)生了根本性的變化。本文主要描述了采用FPGA來實現(xiàn)2k/4k/8k點FFT的設計方法。一般情況下，N點的傅里葉變換對為：其中，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和x(n）都為復數(shù)。與之相對的快速傅里葉變換有很多種，如DIT（時域抽取法）、DIF（頻域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。對于2n傅里葉變換，Cooley－Tukey算法可導出DIT和DIF算法。本文運用的基本思想是Cooley－Tukey算法，即將高點數(shù)的傅里葉變換通過多重低點數(shù)傅里葉變換來實現(xiàn)。雖然DIT與DIF有差別，但由于它們在本質(zhì)上都是一種基于標號分解的算法，故在運算量和算法復雜性等方面完全一樣，而沒有性能上的優(yōu)劣之分，所以可以根據(jù)需要任取其中一種，本文主要以DIT方法為對象來討論。N=8192點DFT的運算表達式為：式中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中n1和k2可取0,1，．．．，2047,k1和n2可取0,1,2,3。由式（3）可知，8k傅里葉變換可由4×2k的傅立葉變換構(gòu)成。同理，4k傅立葉變換可由2×2k的傅里葉變換構(gòu)成。而2k傅里葉變換可由128×16的傅立葉變換構(gòu)成。128的傅里葉變換可進一步由16×8的傅里葉變換構(gòu)成，歸根結(jié)底，整個傅里葉變換可由基2、基4的傅里葉變換構(gòu)成。2k的FFT可以通過5個基4和1個基2變換來實現(xiàn)；4k的FFT變換可通過6個基4變換來實現(xiàn)；8k的FFT可以通過6個基4和1個基2變換來實現(xiàn)。也就是說：FFT的基本結(jié)構(gòu)可由基2/4模塊、復數(shù)乘法器、存儲單元和存儲器控制模塊構(gòu)成，其整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中，RAM用來存儲輸入數(shù)據(jù)、運算過程中的中間結(jié)果以及運算完成后的數(shù)據(jù)，ROM用來存儲旋轉(zhuǎn)因子表。蝶形運算單元即為基2/4模塊，控制模塊可用于產(chǎn)生控制時序及地址信號，以控制中間運算過程及最后輸出結(jié)果。基4和基2的信號流如圖2所示。圖中，若A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進行變換的信號，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為旋轉(zhuǎn)因子，將其分別代入圖2中的基4蝶形運算單元，則有：A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4）B′=[r0+(i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3+r3×s3)]+j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5）C′=[r0－（r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]+j[i0－（i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2）－（i3×c3+r3×s3)] （6）D′=[r0－（i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均為1，這樣，將A，B，C和D的表達式代入圖2中的基2運算的四個等式中，則有：A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8）B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－（i1×c1+r1×s1)] （9）C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10）D′=r2－（r3×c3－i3×s3)+j[i0－（i3×c3+r3×s3)]? （11）在上述式（4）～（11）中有很多類同項，如i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅僅是加減號的不同，其結(jié)構(gòu)和運算均類似，這就為簡化電路提供了可能。同時，在蝶形運算中，復數(shù)乘法可以由實數(shù)乘法以一定的格式來表示，這也為設計復數(shù)乘法器提供了一種實現(xiàn)的途徑。以基4為例，在其運算單元中，實際上只需做三個復數(shù)乘法運算，即只須計算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，這樣在一個基4蝶形單元里面，最多只需要3個復數(shù)乘法器就可以了。在實際過程中，在不提高時鐘頻率下，只要將時序控制好?便可利用流水線（Pipeline）技術(shù)并只用一個復數(shù)乘法器就可完成這三個復數(shù)乘法，大大節(jié)省了硬件資源。圖2 基2和基4蝶形算法的信號流圖 FFT變換后輸出的結(jié)果通常為一特定的倒序。因此，幾級變換后對地址的控制必須準確無誤。倒序的規(guī)律是和分解的方式密切相關的，以基8為例，其基本倒序規(guī)則如下：基8可以用2×2×2三級基2變換來表示，則其輸入順序則可用二進制序列（n1 n2 n3）來表示，變換結(jié)束后，其順序?qū)⒆優(yōu)椋╪3 n2 n1），如：X?011　→ x?110　，即輸入順序為3，輸出時順序變?yōu)?。更進一步，對于基16的變換，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式來構(gòu)成，相對于不同的分解形式，往往會有不同的倒序方式。以4×4為例，其輸入順序可以用二進制序列（n1 n2 n3n4）來表示變換結(jié)束后，其順序可變?yōu)椋ǎ╪3 n4）（n1 n2）），如：X?0111　→ x?1101　。即輸入順序為7，輸出時順序變?yōu)?3。在2k/4k/8k的傅里葉變換中，由于要經(jīng)過多次的基4和基2運算，因此，從每次運算完成后到進入下一次運算前，應對運算的結(jié)果進行倒序，以保證運算的正確性。 N點傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)因子有著明顯的周期性和對稱性。其周期性表現(xiàn)為：FFT之所以可使運算效率得到提高，就是利用了對稱性和周期性把長序列的DFT逐級分解成幾個序列的DFT，并最終以短點數(shù)變換來實現(xiàn)長點數(shù)變換。根據(jù)旋轉(zhuǎn)因子的對稱性和周期性，在利用ROM存儲旋轉(zhuǎn)因子時，可以只存儲旋轉(zhuǎn)因子表的一部分，而在讀出時增加讀出地址及符號的控制，這樣可以正確實現(xiàn)FFT。因此，充分利用旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)，可節(jié)省70%以上存儲單元。實際上，由于旋轉(zhuǎn)因子可分解為正、余弦函數(shù)的組合，故ROM中存的值為正、余弦函數(shù)值的組合。對2k/4k/8k的傅里葉變換來說，只是對一個周期進行不同的分割。由于8k變換的旋轉(zhuǎn)因子包括了2k/4k的所有因子，因此，實現(xiàn)時只要對讀ROM的地址進行控制，即可實現(xiàn)2k/4k/8k變換的通用。因FFT是為時序電路而設計的，因此，控制信號要包括時序的控制信號及存儲器的讀寫地址，并產(chǎn)生各種輔助的指示信號。同時在計算模塊的內(nèi)部，為保證高速，所有的乘法器都須始終保持較高的利用率。這意味著在每一個時鐘來臨時都要向這些單元輸入新的操作數(shù)，而這一切都需要控制信號的緊密配合。為了實現(xiàn)FFT的流形運算，在運算的同時，存儲器也要接收數(shù)據(jù)。這可以采用乒乓RAM的方法來完成。這種方式?jīng)Q定了實現(xiàn)FFT運算的最大時間。對于4k操作，其接收時間為4096個數(shù)據(jù)周期,這樣FFT的最大運算時間就是4096個數(shù)據(jù)周期。另外，由于輸入數(shù)據(jù)是以一定的時鐘為周期依次輸入的，故在進行內(nèi)部運算時，可以用較高的內(nèi)部時鐘進行運算，然后再存入RAM依次輸出。為節(jié)省資源，可對存儲數(shù)據(jù)RAM采用原址讀出原址寫入的方法，即在進行下一級變換的同時，首先應將結(jié)果回寫到讀出數(shù)據(jù)的RAM存貯器中；而對于ROM，則應采用與運算的數(shù)據(jù)相對應的方法來讀出存儲器中旋轉(zhuǎn)因子的值。在2k/4k/8k傅里葉變換中，要實現(xiàn)通用性，控制器是最主要的模塊。2k、4k、8k變換具有不同的內(nèi)部運算時間和存儲器地址，在設計中，針對不同的點數(shù)應設計不同的存儲器存取地址，同時，在完成變換后，還要對開始輸出有用信號的時刻進行指示。

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傅里葉變換的性質(zhì)，傅里葉解析

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2，傅里葉變換在圖像處理中有哪些重要的性質(zhì)

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4，傅里葉變換的概念

5，為什么要進行傅立葉變換傅立葉變換究竟有何意義

6，傅里葉變換的應用

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傅里葉變換的性質(zhì)，傅里葉解析

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