閉集，開集的補集是閉集，所以閉集定義為開集?？占屯陚浼x為開集，閉集的定義是開集的補集，因為空集的補集是完備集，完備集的補集是空集，在閉集的規(guī)定下，空集和完備集都是閉集，閉集的有限個數(shù)的并集仍然是閉集，所以命題被證明，為什么空集和完備集都是開集和閉集？這與開集和閉集的定義有關(guān)。拓撲學(xué)中關(guān)于給集合分配開集的三條規(guī)則第一條是空集和全集定義為開集，閉集的定義是開集的補集。
實變函數(shù)閉集包含所有聚集點的集合為閉集的充要條件。由于收斂點序列{{xn}}收斂在定義域x0上，所以x0是閉集F的收斂點，當(dāng)然屬于F。這是點集拓撲學(xué)的內(nèi)容，只使用泛函。連續(xù)映射的定義是開集的原像是開集，可以補一點，推一點。一點集合為閉集，證明如下:設(shè)集合S{a}無聚集點，故導(dǎo)集為空集，故導(dǎo)集包含在S中，按定義為閉集。閉集的有限個數(shù)的并集仍然是閉集，所以命題被證明。
設(shè)A為閉集，用Ac表示它在度量空間中的補集。根據(jù)開集的定義，只需要證明Ac中的所有點都是內(nèi)點。取任意點x∈Ac，如果X不是Ac的內(nèi)點，那么根據(jù)內(nèi)點的定義，X的任意鄰域中至少有一個點不屬于Ac，即X的任意鄰域中至少有一個點屬于a .而且很明顯，這不可能是X本身(因為x∈Ac)。
閉集在高中數(shù)學(xué)中是閉區(qū)間，比如連通閉集不是閉區(qū)域。教科書上說，封閉區(qū)域是由開放區(qū)域和下邊界組成的，其依據(jù)是必須有開放區(qū)域。如果只是連通，則為閉集，可能不是閉區(qū)域，例如平面集合a {x，y { | x ^ 2 y ^ 2≤1 }∨{(x，y)|(x2)2 y ^ 2≤1 }。這兩個圓由點(1，0)連接。兩個圓的內(nèi)部是開集，兩個圓是邊界，所以是閉集。但是，A不是封閉區(qū)域。如果去掉兩個作為邊界的圓，剩下的兩個圓的內(nèi)部不再連通，那么就不是開放區(qū)域，所以A不是封閉區(qū)域。
3、開集, 閉集,算子開集和閉集應(yīng)該是很基礎(chǔ)的東西。開集是拓撲的子集，拓撲是空間的子集族，定義了開集是什么。然而，這涉及到一個賦范空間，或距離空間，它具有比一般拓撲空間好得多的性質(zhì)。通過范數(shù)定義開集，它是開鄰域，球面鄰域之類的，到某一點的距離比Ipsilon小。對于開集，每個點都有這樣一個球面鄰域。開集的補集是閉集，所以閉集定義為開集。
也可以定義一個閉球。算子是賦范空間之間的函數(shù)，是線性空間的線性變換或線性映射。但賦范空間一般與函數(shù)空間相關(guān)，所以用算子的名字來表示區(qū)別。由于算子是函數(shù)，自然可以傳遞抽象函數(shù)論中的各種概念，如定義域、伴域、值域、象、逆象、內(nèi)射性、內(nèi)射性、映射合成等。這一套東西很基礎(chǔ)。每去一個新的環(huán)境，都要重新解釋一遍。
4、 閉集的細說以上閉集的定義是基于開集的。這個概念在拓撲空間中是有意義的，它也適用于其他具有拓撲結(jié)構(gòu)的空間，如度量空間、可微流形、一致空間和規(guī)范空間。閉集的另一個定義是通過序列。拓撲空間X上的子集A是閉的當(dāng)且僅當(dāng)由A的元素組成的任意序列的任意極限仍屬于A..這個表達式的價值在于可以用在比拓撲空間更常見的收斂空間的定義中。
5、為什么空集與全集即是開集又是 閉集呢這與開集和閉集的定義有關(guān)。拓撲學(xué)中關(guān)于給集合分配開集的三條規(guī)定中，第一條是空集和全集都定義為開集，而閉集的定義是開集的補集。因為空集的補集是完備集，完備集的補集是可見，有些集合既是開的又是閉的，而有些集合不是開的又是閉的，其本質(zhì)原因是開集的定義和閉集。雖然看起來很奇怪，但在數(shù)學(xué)理論上不會引起矛盾，所以開集和閉集的這種定義被人們所接受。
空集和完備集定義為開集，閉集的定義是開集的補集。因為空集的補集是完備集，完備集的補集是空集，在閉集的規(guī)定下，空集和完備集都是閉集。集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著無與倫比的特殊重要性。集合論的基礎(chǔ)是由德國數(shù)學(xué)家康托爾在20世紀70年代奠定的，經(jīng)過了一大批科學(xué)家半個世紀的努力。到20世紀20年代，它已經(jīng)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中確立了自己的基礎(chǔ)地位?？梢哉f，現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個分支的幾乎所有成就都是以嚴格的集合論為基礎(chǔ)的。
6、怎么區(qū)分開集 閉集?開集是拓撲學(xué)中最基本的概念之一。設(shè)A是度量空間X的子集。如果A中的每個點都有一個以A中包含的點為中心的鄰域，則稱A是度量空間X中的開集..滿足x ^ 2 y ^ 2r ^ 2的用藍色點亮。在拓撲空間中，閉集是指補集是開集的集合。可以推廣到度量空間中，如果一個集合的所有極限點都是這個集合中的點，那么這個集合就是閉集。不要把它和閉流形混淆。
如果A中的每個點都有一個以A中包含的點為中心的鄰域，即A中的每個點都是A的內(nèi)點，那么稱A是度量空間X中的開集..在集合的語言中，對任意x∈A存在δ>0，使得b (x，δ) a，你也可以從另一個角度定義開集，即如果一個集合沒有邊界點(或沒有邊界點)，則稱之為開集。即若a ∩ a，則a是開集，可以證明這兩個定義是等價的。
