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gram矩陣，已知G為m階實對稱正定矩陣證明存在m個線性無關(guān)的量使得其Gram陣

來源：整理 時間：2023-08-18 09:53:20 編輯：智能門戶 手機版

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1，已知G為m階實對稱正定矩陣證明存在m個線性無關(guān)的量使得其Gram陣

G正定，則存在可逆陣P使得G=P^TP將P列分塊得到一組線性無關(guān)的向量組a1,a2,……,am顯然這組向量構(gòu)成的Gram矩陣即為G

已知G為m階實對稱正定矩陣證明存在m個線性無關(guān)的量使得其Gram陣

2，gram行列式

對于向量e_1,...,e_m, 相應的Gram矩陣為G.任取列向量c=[c_1,...,c_m]^T, 有c^H*G*c=||c_1e_1+...+c_me_m||^2>=0,所以G半正定.若G奇異則取非零向量c使得Gc=0, 可得e_i線性相關(guān).若e_i線性相關(guān)則取c使得c_1e_1+...+c_me_m=0, 那么c^H*G*c=0, 得到G不是正定的, 所以奇異.

gram行列式

3，數(shù)學高等代數(shù)A是怎么來的格拉姆矩陣又是什么求高手詳細解

線性方程組的未知系數(shù)組成的矩陣，首先要確定d的值其恒定右側(cè)的方程的行列式，以改變到基體中，所述第二列上的第一行...發(fā)現(xiàn)D1，D2 ...... X1 = D1 / D X2 = D2 / D ...
a是怎么來的我不知道，但是我知道格拉姆矩陣是怎么算的。且聽慢慢道來。1.gram矩陣，也就是格拉姆矩陣，是這么定義的： 一族向量a1,a2,..an的gram矩陣是內(nèi)機的對稱矩陣，其元素g_ij=. 注意，這里的<> 是計算內(nèi)積的符號。 好了，來個算例吧。就比如上面的這個a1=(1,1), a2=(1,2). gram=2*2維度的矩陣；第一個元素的值為g_11==1*1+1*1=2; 第一行第二列的元素g_12==1*1+2*1=3; 第二行第一列的元素g_21==1*1+1*2=3; 第二行第二列的元素g_21==1*1+2*2=5; 所以gram=(2 3 3 5) 備注：向量內(nèi)積的求法為——=對應元素相乘再相加。內(nèi)積的性質(zhì)=. 謝謝！

數(shù)學高等代數(shù)A是怎么來的格拉姆矩陣又是什么求高手詳細解

4，什么是Gram矩陣

格拉姆矩陣是半正定的，反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩陣是恒同矩陣。
在線性代數(shù)中,內(nèi)積空間中一族向量 格拉姆矩陣（gramian matrix 或 gram matrix, gramian）是內(nèi)積的對稱矩陣,其元素由 gij= (vi| vj)給出.一個重要的應用是計算線性無關(guān)：一族向量線性無關(guān)當且僅當格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等于零.格拉姆矩陣以丹麥數(shù)學家約爾根·佩爾森·格拉姆（j?rgen pedersen gram）命名.例子最常見地,向量是歐幾里得空間中元素,或 l空間中函數(shù),比如緊區(qū)間[a, b] 上的連續(xù)函數(shù)（是 l（[a, b]）的子集）.給定區(qū)間 [t0,tf]上的實值函數(shù) ,格拉姆矩陣g= [gij],由函數(shù)的標準內(nèi)積給出：給定一個實矩陣 a,矩陣 aa是 a的列向量的格拉姆矩陣,而矩陣 aa是 a的行向量的格拉姆矩陣.對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式b,我們可對一組向量 定義一個格拉姆矩陣 g為 .如果雙線性形式 b對稱則該格拉姆矩陣對稱.

5，什么是Gram矩陣

在線性代數(shù)中,內(nèi)積空間中一族向量 格拉姆矩陣（Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian）是內(nèi)積的對稱矩陣,其元素由 Gij= (vi| vj)給出.一個重要的應用是計算線性無關(guān)：一族向量線性無關(guān)當且僅當格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等于零.
在線性代數(shù)中，內(nèi)積空間中一族向量 格拉姆矩陣（gramian matrix 或 gram matrix, gramian）是內(nèi)積的對稱矩陣，其元素由 gij= (vi| vj)給出。 一個重要的應用是計算線性無關(guān)：一族向量線性無關(guān)當且僅當格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等于零。 格拉姆矩陣以丹麥數(shù)學家約爾根·佩爾森·格拉姆（j?rgen pedersen gram）命名。 例子 最常見地，向量是歐幾里得空間中元素，或 l空間中函數(shù)，比如緊區(qū)間[a, b] 上的連續(xù)函數(shù)（是 l（[a, b]）的子集）。 給定區(qū)間 [t0,tf]上的實值函數(shù) ，格拉姆矩陣g= [gij]，由函數(shù)的標準內(nèi)積給出： 給定一個實矩陣 a，矩陣 aa是 a的列向量的格拉姆矩陣，而矩陣 aa是 a的行向量的格拉姆矩陣。 對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式b，我們可對一組向量 定義一個格拉姆矩陣 g為 。如果雙線性形式 b對稱則該格拉姆矩陣對稱。 轉(zhuǎn)自百度百科

6，歐幾里德空間中關(guān)于內(nèi)積函數(shù)的度量矩陣是怎么理解的

知道了任意兩個基向量的內(nèi)基也就知道了度量矩陣，個人認為，之所以提出度量矩陣的概念其實是為了方便計算兩向量的內(nèi)基。因為只要基向量相同，計算內(nèi)基只須將向量的坐標和度量矩陣兩邊相乘即可，有利于減少計算量。特別是對于大規(guī)模的矩陣運算很有意義！
設(shè)n1,n2,...nn,為歐式空間的一個基，把內(nèi)積函數(shù)在基向量上的值寫成矩陣形式，即 （n1,n1）(n1,n2)... (n1,nn) (n2,n1) (n2,nn) M=(nn,n1) (nn,nn) 把M稱為內(nèi)積關(guān)于基n1,n2,...nn,的度量矩陣
設(shè)n1,n2,...nn,為歐式空間的一個基，把內(nèi)積函數(shù)在基向量上的值寫成矩陣形式，即 （n1,n1） (n1,n2)... (n1,nn) (n2,n1) (n2,nn) M= (nn,n1) (nn,nn) 把M稱為內(nèi)積關(guān)于基n1,n2,...nn,的度量矩陣
首先你得理解基的作用。一般的向量是比較抽象和絕對的概念，引入了基之后向量就可以用相對于這組基的坐標來表示，這樣就把抽象的向量轉(zhuǎn)化到具體的坐標（也就是一組數(shù)）。在有了基之后抽象的線性變換也就可以用具體的矩陣來描述了。這里的道理是一樣的，用gram矩陣可以把抽象的內(nèi)積轉(zhuǎn)化到一組具體的數(shù)。比如說e_1,e_2,...,e_n是v的一組基，若向量a和b在這組基下的向量分別是x和y，記e=(e_1,e_2,...,e_n)，那么形式上就有a=ex，b=ey，而它們的內(nèi)積恰好就是=(ey)^h*(ex)=y^h*g*x 這里g=e^h*e就是gram矩陣，跳過中間的形式推導，內(nèi)積運算就轉(zhuǎn)化到了矩陣乘法。 當然，形式推導也可以嚴格化，一種方式是直接按分量來寫，另一種方式是對向量直接定義諸如轉(zhuǎn)置共軛和乘法運算。
文章TAG：矩陣已知實對對稱gram矩陣

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