傅里葉級(jí)數(shù)，請(qǐng)問傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的區(qū)別是什么謝謝

來源：整理時(shí)間：2024-08-26 02:29:50 編輯：智能門戶手機(jī)版

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1，請(qǐng)問傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的區(qū)別是什么謝謝
2，什么是傅立葉級(jí)數(shù)
3，傅里葉積分和傅里葉級(jí)數(shù)有什么區(qū)別
4，傅里葉級(jí)數(shù)是什么
5，什么是傅里葉級(jí)數(shù)
6，傅里葉級(jí)數(shù)的詳細(xì)介紹

1，請(qǐng)問傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的區(qū)別是什么謝謝

他們不屬于同一類概念，談不上區(qū)別，要說關(guān)系的話，傅里葉系數(shù)是將一個(gè)函數(shù)按傅里葉級(jí)數(shù)的展開方法得到傅里葉級(jí)數(shù)后的每一個(gè)周期性的三角函數(shù)的帶有常數(shù)性質(zhì)的系數(shù)，級(jí)數(shù)是一種數(shù)學(xué)逼近方法，系數(shù)只是幾個(gè)數(shù)罷了

那本書在這個(gè)地方交代不明，它應(yīng)該還需要假設(shè)三角級(jí)數(shù)在乘以cos(nx)和sin(nx)后仍然是可逐項(xiàng)積分的~！

請(qǐng)問傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的區(qū)別是什么謝謝

2，什么是傅立葉級(jí)數(shù)

中文名稱：傅里葉級(jí)數(shù) 定義：如果一個(gè)給定的非正弦周期函數(shù)f(t)滿足狄利克雷條件，它能展開為一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)

法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模?，后世稱為傅里葉級(jí)數(shù)(法文：série de fourier，或譯為傅里葉級(jí)數(shù))一種特殊的三角級(jí)數(shù)。

什么是傅立葉級(jí)數(shù)

3，傅里葉積分和傅里葉級(jí)數(shù)有什么區(qū)別

一般這么的吧，在信號(hào)的處理中對(duì)周期信號(hào)是展開為傅里葉級(jí)數(shù)，因?yàn)轭l譜是離散的，而對(duì)于非周期信號(hào)的處理就是用傅里葉級(jí)數(shù)表示，因?yàn)轭l譜是連續(xù)的純數(shù)學(xué)上來看也就是周期函數(shù)和非周期函數(shù)分別用的吧

傅里葉積分和傅里葉級(jí)數(shù)有什么區(qū)別

4，傅里葉級(jí)數(shù)是什么

傅里葉發(fā)現(xiàn)，滿足Dirichlet條件的周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示，說白了就是利用三角級(jí)數(shù)逼近周期函數(shù)。

一種特殊的三角級(jí)數(shù)。法國數(shù)學(xué)家j.-b.-j.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出。從而極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)。他首先證明多元三角級(jí)數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級(jí)數(shù)曾極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。 ============================================================================================================ [編輯本段]傅里葉級(jí)數(shù)的公式給定一個(gè)周期為t的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級(jí)數(shù)： x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{t})t}（j為虛數(shù)單位）（1）其中，a_k可以按下式計(jì)算： a_k=\frac 什么是傅立葉級(jí)數(shù)

{t}\int_{t}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{t})t}（2）注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{t})t}是周期為t的函數(shù)，故k 取不同值時(shí)的周期信號(hào)具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個(gè)共同周期t）。k=0時(shí)，（1）式中對(duì)應(yīng)的這一項(xiàng)稱為直流分量，k=\pm 1時(shí)具有基波頻率\omega_0=\frac{2\pi}{t}，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。

5，什么是傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù) Fourier series 一種特殊的三角級(jí)數(shù)。法國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出。從而極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)。他首先證明多元三角級(jí)數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級(jí)數(shù)曾極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。 ============================================================================================================ 傅里葉級(jí)數(shù)的公式給定一個(gè)周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級(jí)數(shù)： x(t)=\sum _（j為虛數(shù)單位）（1）其中，a_k可以按下式計(jì)算： a_k=\frac\int_x(t)\cdot e^（2）注意到f_k(t)=e^是周期為T的函數(shù)，故k 取不同值時(shí)的周期信號(hào)具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個(gè)共同周期T）。k=0時(shí)，（1）式中對(duì)應(yīng)的這一項(xiàng)稱為直流分量，k=\pm 1時(shí)具有基波頻率\omega_0=\frac，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級(jí)數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對(duì)可積；在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個(gè)最大值或最小值；在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)作和X(t)，那么X(t)在這些點(diǎn)上會(huì)有起伏。一個(gè)簡單的例子是方波信號(hào)。三角函數(shù)族的正交性所謂的兩個(gè)不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個(gè)向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實(shí)上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個(gè)互相正交的向量必然是線形無關(guān)的，所以必然可以張成一個(gè)n維空間，也就是說，空間中的任何一個(gè)向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是： \int _^ \int _^ \int _^ \int _^ \int _^ 奇函數(shù)和偶函數(shù) 奇函數(shù)f_o(x)可以表示為正弦級(jí)數(shù)，而偶函數(shù)f_e(x)則可以表示成余弦級(jí)數(shù)： f_o(x) = \sum _ f_e(x) = \frac+\sum _ 只要注意到歐拉公式: e^，這些公式便可以很容易從上面傅里葉級(jí)數(shù)的公式中導(dǎo)出。廣義傅里葉級(jí)數(shù) 任何正交函數(shù)系\，如果定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)只具有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那么如果f(x)滿足封閉性方程： \int _^f^2(x)\,dx=\sum _ (4)，那么級(jí)數(shù)\sum _ (5) 必然收斂于f(x)，其中: c_n=\int _^f(x)\phi_n(x)\,dx (6)。事實(shí)上，無論（5）時(shí)是否收斂，我們總有： \int _^f^2(x)\,dx \ge \sum _成立，這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因?yàn)閷?duì)于任意的單位正交基\，向量x在e_i上的投影總為。

6，傅里葉級(jí)數(shù)的詳細(xì)介紹

一．傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式　　設(shè)f(t)為一非正弦周期函數(shù)，其周期為T，頻率和角頻率分別為f , ω1。由于工程實(shí)際中的非正弦周期函數(shù)，一般都滿足狄里赫利條件，所以可將它展開成傅里葉級(jí)數(shù)。即　　其中A0/2稱為直流分量或恒定分量；其余所有的項(xiàng)是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數(shù)倍關(guān)系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)項(xiàng)稱為一次諧波或基波，A1，ψ1分別為其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)項(xiàng)的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，A2，ψ2分別為其振幅和初相角；其余的項(xiàng)分別稱為三次諧波，四次諧波等。基波，三次諧波，五次諧波……統(tǒng)稱為奇次諧波；二次諧波，四次諧波……統(tǒng)稱為偶次諧波；除恒定分量和基波外，其余各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波。式（10-2-1）說明一個(gè)非正弦周期函數(shù)可以表示一個(gè)直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。　　上式有可改寫為如下形式，即　　當(dāng)A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函數(shù)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。　　把非正弦周期函數(shù)f(t)展開成傅里葉級(jí)數(shù)也稱為諧波分析。工程實(shí)際中所遇到的非正弦周期函數(shù)大約有十余種，它們的傅里葉級(jí)數(shù)展開式前人都已作出，可從各種數(shù)學(xué)書籍中直接查用。　　從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)后即可證明有　　a-n=an 　　b-n=-bn 　　A-n=An 　　ψ-n=-ψn 　　即an和An是離散變量n的偶函數(shù)，bn和ψn是n的奇函數(shù)。　　二．傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式　　將式（10-2-2）改寫為　　可見與互為共軛復(fù)數(shù)。代入式（10-2-4）有　　上式即為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。　　下面對(duì)和上式的物理意義予以說明：　　由式（10-2-5）得的模和輻角分別為　　可見的模與幅角即分別為傅里葉級(jí)數(shù)第n次諧波的振幅An與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的復(fù)數(shù)振幅。　　的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有　　上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對(duì)相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號(hào)表示，即　　即根據(jù)式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)展開成了復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。　　在（10-2-7）中，由于離散變量n是從（-∞）取值，從而出現(xiàn)了負(fù)頻率（-nω1）。但實(shí)際工程中負(fù)頻率是無意義的，負(fù)頻率的出現(xiàn)只具有數(shù)學(xué)意義，負(fù)頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對(duì)存在的，它們的和構(gòu)成了一個(gè)頻率為nω1的正弦分量。即　　引入傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)形式的好處有二：（1）復(fù)數(shù)振幅同時(shí)描述了第n次諧波的振幅An和初相角ψn；（2）為研究信號(hào)的頻譜提供了途徑和方便。　　高等數(shù)學(xué)中的傅立葉級(jí)數(shù)　　傅立葉系數(shù)　　傅立葉系數(shù)包括系數(shù) ，積分號(hào)和它的積分域，以及里面的兩個(gè)周期函數(shù)的乘積——其中一個(gè)是關(guān)于f的，另一個(gè)是關(guān)于x的函數(shù)f(x),另一個(gè)則是和級(jí)數(shù)項(xiàng)n有關(guān)的三角函數(shù)值。這個(gè)三角函數(shù)可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立葉系數(shù)包括正弦系數(shù)和余弦系數(shù)。其中當(dāng)n=0時(shí)，余弦值為1，此時(shí)存在一個(gè)特殊的系數(shù) ，它只與x有關(guān)。正弦系數(shù)再成一個(gè)正弦，余弦再乘一個(gè)余弦，相加并且隨n求和，再加上一半的，就稱為了這個(gè)特別的函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)。為什么它特別呢，我想因?yàn)檫@里只有它只限于一個(gè)周期函數(shù)而已，而級(jí)數(shù)的周期就是f(x)的周期，2 ?！　∪绻瘮?shù)f(x)存在一個(gè)周期，但是不是2 了，而是關(guān)于y軸對(duì)稱的任意一個(gè)范圍，它還能寫成傅立葉級(jí)數(shù)么？也可以的。只要把傅立葉系數(shù)里的換成l，并且把積分號(hào)里的三角函數(shù)中的n 下除一個(gè)l，同時(shí)把系數(shù)以外的那個(gè)n 底下也除一個(gè)l。其他的都不動(dòng)。也可以認(rèn)為，2 周期的傅立葉級(jí)數(shù)其實(shí)三角函數(shù)中x前面的系數(shù)應(yīng)該是，其他的（積分域和系數(shù)）應(yīng)該是x，只不過這時(shí)所有的l都是罷了?！　∏懊嫣峒傲?，周期或是積分域，是關(guān)于y軸的一個(gè)任意范圍。其實(shí)周期函數(shù)不用強(qiáng)調(diào)這個(gè)，但是為什么還要說呢？因?yàn)橐貏e強(qiáng)調(diào)一下定義域是滿的。有些函數(shù)的定義域不是滿的，是0到l，當(dāng)然這樣它有可能不是周期的。這些函數(shù)能寫成傅立葉級(jí)數(shù)么？同樣可以。而且，它的寫法不再是正弦和余弦函數(shù)的累積，而是單獨(dú)的一個(gè)正弦函數(shù)或是余弦函數(shù)。具體怎么寫，就取決于怎么做。因?yàn)橛蚴且话氲模宰匀欢幌氲桨涯且话胙a(bǔ)齊，f就成了周期函數(shù)。補(bǔ)齊既可以補(bǔ)成奇函數(shù)也可以補(bǔ)成偶函數(shù)。補(bǔ)成積函數(shù)，寫成的級(jí)數(shù)只有正弦項(xiàng)，即為0。補(bǔ)成偶函數(shù)，寫成的級(jí)數(shù)就只含有余弦項(xiàng)和第一項(xiàng)，即為0。而，傅立葉系數(shù)相比非積非偶的函數(shù)要大一倍?！　∑鋵?shí)，如果不經(jīng)延拓，上面那些對(duì)于奇偶函數(shù)同樣使用。　　在做題時(shí)，常?？吹郊?jí)數(shù)后面跟著一個(gè)系數(shù)還有一個(gè)正弦函數(shù)，然后后面給出了這個(gè)系數(shù)很復(fù)雜的一串式子，這時(shí)候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)那個(gè)系數(shù)不過是一個(gè)有積分的傅立葉系數(shù)而已。那么一大串，應(yīng)該看什么呢？應(yīng)當(dāng)先看積分域，一下就可以定出周期了。第二步要明確級(jí)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系即等價(jià)關(guān)系。函數(shù)不但包含在級(jí)數(shù)中，而且函數(shù)本身也是和級(jí)數(shù)等價(jià)的。但一般那個(gè)級(jí)數(shù)里的函數(shù)是一個(gè)擺設(shè)，不起什么作用

　fourier series 　　一種特殊的三角級(jí)數(shù)。法國數(shù)學(xué)家j.-b.-j.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出。從而極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)。他首先證明傅里葉級(jí)數(shù)多元三角級(jí)數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級(jí)數(shù)曾極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。給定一個(gè)周期為t的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級(jí)數(shù)：　　<math>x(t)=\sum _ 　　其中，<math>a_k</math>可以按下式計(jì)算：傅里葉級(jí)數(shù) <math>a_k=\frac 　　注意到<math>f_k(t)=e^ 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級(jí)數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：　　在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對(duì)可積；傅里葉級(jí)數(shù) 在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個(gè)最大值或最小值；　　在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。　　吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)作和x(t)，那么x(t)在這些點(diǎn)上會(huì)有起伏。一個(gè)簡單的例子是方波信號(hào)。　所謂的兩個(gè)不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個(gè)向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實(shí)上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個(gè)互相正交的向量必然是線形無關(guān)的，所以必然可以張成一個(gè)n維空間，也就是說，空間中的任何一個(gè)向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：　　<math>\int _ 　奇函數(shù)<math>f_o(x)</math>可以表示為正弦級(jí)數(shù)，而偶函數(shù)<math>f_e(x)</math>則可以表示成余弦級(jí)數(shù)：　　<math>f_o(x) = \sum _傅里葉級(jí)數(shù) <math>f_e(x) = \frac 傅里葉級(jí)數(shù) 　任何正交函數(shù)系<math>\ 　　<math>\int _ 　　那么級(jí)數(shù)<math>\sum _ 　　<math>c_n=\int _傅里葉級(jí)數(shù) 事實(shí)上，無論（5）時(shí)是否收斂，我們總有：　　<math>\int _ <math>\int _ 　　<math>\int _ 　　<math>\int _ 　　<math>\int _

傅里葉級(jí)數(shù)　　Fourier series　　一種特殊的三角級(jí)數(shù)。法國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出。從而極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)。他首先證明多元三角級(jí)數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級(jí)數(shù)曾極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。　　============================================================================================================　　傅里葉級(jí)數(shù)的公式　　給定一個(gè)周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級(jí)數(shù)：　　<math>x(t)=\sum _　　其中，<math>a_k</math>可以按下式計(jì)算：　　<math>a_k=\frac　　注意到<math>f_k(t)=e^　　傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性　　傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級(jí)數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：　　在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對(duì)可積；　　在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個(gè)最大值或最小值；　　在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。　　吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)作和X(t)，那么X(t)在這些點(diǎn)上會(huì)有起伏。一個(gè)簡單的例子是方波信號(hào)。　　三角函數(shù)族的正交性　　所謂的兩個(gè)不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個(gè)向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實(shí)上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個(gè)互相正交的向量必然是線形無關(guān)的，所以必然可以張成一個(gè)n維空間，也就是說，空間中的任何一個(gè)向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：　　<math>\int _　　<math>\int _　　<math>\int _　　<math>\int _　　<math>\int _　　奇函數(shù)和偶函數(shù)　　奇函數(shù)<math>f_o(x)</math>可以表示為正弦級(jí)數(shù)，而偶函數(shù)<math>f_e(x)</math>則可以表示成余弦級(jí)數(shù)：　　<math>f_o(x) = \sum _　　<math>f_e(x) = \frac　　廣義傅里葉級(jí)數(shù)　　任何正交函數(shù)系<math>\　　<math>\int _　　那么級(jí)數(shù)<math>\sum _　　<math>c_n=\int _　　事實(shí)上，無論（5）時(shí)是否收斂，我們總有：　　<math>\int _{a}^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^ 傅里葉積分和傅里葉級(jí)數(shù)有什么區(qū)別

_{k}</math>成立，這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因?yàn)閷?duì)于任意的單位正交基<math>\{e_i\}^{N}_{i=1}</math>，向量x在<math>e_i</math>上的投影總為<math><x,e_i></math> 。