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特征向量，什么是矩陣的特征根和特征向量

來源：整理 時間：2024-11-16 14:22:50 編輯：智能門戶 手機版

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1，什么是矩陣的特征根和特征向量

如果A是一個矩陣，x是一個不為零的向量，使得Ax=ax ，其中a是一個數(shù)量（可以是零），那么，a就是A的一個特征值（根），x是對應于a的一個特征向量。

什么是矩陣的特征根和特征向量

2，矩陣的特征向量和特征值是怎么回事

從直觀上講：把矩陣其實看作一個線性變換的話，特征向量就是經(jīng)過這個線性變換后你得到的向量與原來的向量共線的那些向量所組成的幾何。而特征向量對應的特征值就是代表把特征向量經(jīng)過伸長改變的倍數(shù)。

矩陣的特征向量和特征值是怎么回事

3，線性代數(shù)特征向量怎么求

將特征值代入特征方程，解出基礎解系，就是特征向量。系數(shù)矩陣化最簡行1 0 -1 0 1 0 0 0 0 化最簡形1 0 -1 0 1 0 0 0 0 增行增列，求基礎解系1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 第1行, 加上第3行×11 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 化最簡形1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 得到基礎解系：(1,0,1)T

線性代數(shù)特征向量怎么求

4，什么叫 矩陣的特征向量 和特征值

只說定義吧 [意義，太重要。用途，太多。幾句話說不清，不說了！]n階方陣A,行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣，λ是變量。這是λ的n次多項式，首項系數(shù)是1] 叫做A的特征多項式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n個），都叫A的特征值。 如果λ0是A的一個特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）為降秩矩陣，線性方程組（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n維列向量] 必有非零解，每個非零解就叫矩陣A的關于特征值λ0的一個特征向量。[特征方法是線性代數(shù)的核心內容之一，也是其他很多數(shù)學分支的重要內容，可要認真對待了！]
1.(a-xe)v1=av1+xev1=av1+xv1=(a+x)v1 所以v1是矩陣a-xe特征值為a+x的特征向量。 2.存在可逆矩陣p，使得p逆ap=對角陣△=（a1,a2,....an）， 那么，（p逆ap）（p逆ap）=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an） p逆a^2p=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an）=（a1^2,....,an^2） 所以a^2=p（a1^2,....,an^2）p逆，特征值為a1^2,....,an^2。

5，如何理解矩陣的特征值和特征向量

最低0.27元/天開通百度文庫會員，可在文庫查看完整內容>原發(fā)布者:愛只淡然一笑第五章矩陣的特征值與特征向量在經(jīng)濟理論及其應用中常要求一個方陣的特征值和特征向量的問題數(shù)學中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題也都要用到特征值的理論引言?純量陣lE與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn．?矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB≠BA．?數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．?Ax=lx?例：34003422l,1230023112第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量p117一特征值與特征向量定義:定義6設A是n階矩陣如果對于數(shù)l，存在n維非零列向量X,使AXlX成立x1a11a12...a1nx1x2a21a22...a2nx2l..................axxa...an2nnnn1n則稱l為方陣A的一個特征值非零列向量X稱為A的對應于特征值l的特征向量如何求特征值和特征向量?AXlX(lIA)X0即a11a21...an1la11a21...an1a12............a22an2...a12la22...an2齊次方程有非0解a1nx1x1
如何理解矩陣，特征值和特征向量？答：線性空間中，當你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換），從而得出矩陣是線性空間里的變換的描述。而使某個對象發(fā)生對應運動（變換）的方法，就是用代表那個運動（變換）的矩陣，乘以代表那個對象的向量。轉換為數(shù)學語言： 是矩陣， 是向量， 相當于將 作線性變換從而得到 ，從而使得矩陣 （由n個向量組成）在對象或者說向量 上的變換就由簡單的實數(shù) 來刻畫，由此稱 為矩陣a的特征值，而 稱為 對應的特征向量?？偨Y來說，特征值和特征向量的出現(xiàn)實際上將復雜的矩陣由實數(shù)和低維的向量來形象的描述（代表），實現(xiàn)了降維的目的。在幾何空間上還可以這樣理解：矩陣a是向量的集合，而 則是向量的方向， 可以理解為矩陣a在 方向上作投影，而矩陣又是線性空間變換的描述，所以變換后方向保持不變，僅是各個方向投影后有個縮放比例 。
矩陣特征向量是置換相抵下的不變量，，，簡單點說就是一個線性變換作用在向量上，可以把矩陣看作那個線性變換的線性算子，，，這個作用不改變這個向量的方向，只改變這個向量的大小，而特征值就是那個改變的倍數(shù)，，，，特征值在控制理論中有廣泛的應用，，，因為它的性質非常好，，，，，，

6，什么是特征向量特征值

設置方程：將A分別作用在u和v上，也就是計算Au和Av：畫個圖就是：Av=2v，A對v的作用，僅僅是將v延長了，這個系數(shù)2就叫特征值；而被矩陣A延長的向量(2,1)，就是特征向量。下面給出數(shù)學定義。A為nxn矩陣，x為非零向量。若存在數(shù)λ，使Ax=λx成立，則稱λ為A的特征值，x稱為對應于λ的特征向量。特征值有兩個很特別的規(guī)律，分別是：1、特征值的和，等于矩陣對角線的和（跡）。2、特征值的積，等于矩陣的行列式。擴展資料：定理譜定理在有限維的情況，將所有可對角化的矩陣作了分類：它顯示一個矩陣是可對角化的，當且僅當它是一個正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因為對角化矩陣T的函數(shù)f(T)（譬如波萊爾函數(shù)f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時候譜定理的作用就更明顯了。例如，若f是解析的，則它的形式冪級數(shù)，若用T取代x，可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。譜定理可以推廣到希爾伯特空間上的有界正規(guī)算子，或者無界自共軛算子的情況。求特征值，描述正方形矩陣的特征值的重要工具是特征多項式，λ是A的特征值等價于線性方程組(A – λI) v = 0 （其中I是單位矩陣）有非零解v (一個特征向量)，因此等價于行列式|A – λI|=0 。函數(shù)p(λ) = det(A – λI)是λ的多項式，因為行列式定義為一些乘積的和，這就是A的特征多項式。矩陣的特征值也就是其特征多項式的零點。一個矩陣A的特征值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。 若A是一個n×n矩陣，則pA為n次多項式，因而A最多有n個特征值。反過來，代數(shù)基本定理說這個方程剛好有n個根，如果重根也計算在內的話。所有奇數(shù)次的多項式必有一個實數(shù)根，因此對于奇數(shù)n，每個實矩陣至少有一個實特征值。在實矩陣的情形，對于偶數(shù)或奇數(shù)的n，非實數(shù)特征值成共軛對出現(xiàn)。求特征向量，一旦找到特征值λ，相應的特征向量可以通過求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v為待求特征向量，I為單位陣。沒有實特征值的一個矩陣的例子是順時針旋轉90度。參考資料：搜狗百科-特征向量
1. 矩陣（以方陣為例）可以看作是一個坐標系；2. 矩陣乘法可以看作是一個變換，可以把一個向量變成另一個向量；3. 在這個變換過程中，原向量可能在坐標系發(fā)生旋轉、伸縮；4. 如果在這個變換過程中，矩陣對某個向量只發(fā)生伸縮，而不發(fā)生旋轉；則這個向量為這個矩陣的特征向量，而伸縮的比例就是特征值。矩陣是一個系統(tǒng)的理論，要理解特征向量、特征值，最好先了解矩陣的幾何意義。
定義：Aξ=λξ ，λ是特征值ξ是特征向量 意思就是 一個矩陣作用在一個向量上，相當于一個數(shù)作用這個向量上，這個數(shù)就是特征值，這個向量就是特征向量如果你指得講清楚是講清楚特征值和特征向量的幾何意義，可以追問，我也可以給你講清楚，只不過過程相當復雜，你要不需要我就先不講了，但是我估計即使說明白，對你的學習沒什么有用的幫助，說實話大學就算你要考研，特征值特征向量也就是背公式就解決了
特征值就是使得λE-A的行列式為0的λ值，而特征向量是對應某一特征值來說滿足值，(λE-A)a=0的解向量
特征向量是一個非簡并的向量，在這種變換下其方向保持不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。特征值是線性代數(shù)中的一個重要概念。線性變換通?？梢杂闷涮卣髦岛吞卣飨蛄縼硗耆枋?。特征空間是一組特征值相同的特征向量。“特征”一詞來自德語的eigen。希爾伯特在1904年第一次用這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“個體的”，這顯示了特征值對于定義特定的線性變換的重要性。擴展資料：求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：計算的特征多項式；第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實數(shù)）。參考資料來源：搜狗百科-特征值參考資料來源：搜狗百科-特征向量
文章TAG：特征向量什么是矩陣的特征根和特征向量

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