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同態(tài)，同態(tài)濾波的同態(tài)系統(tǒng)

來源：整理 時(shí)間：2023-08-27 08:18:53 編輯：智能門戶 手機(jī)版

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1，同態(tài)濾波的同態(tài)系統(tǒng)

有一類特殊的非線性系統(tǒng)，它遵從廣義的疊加原理。在代數(shù)上，這類系統(tǒng)用輸入和輸出的矢量空間之間的線性變換來表征，因而稱為同態(tài)系統(tǒng)。

同態(tài)濾波的同態(tài)系統(tǒng)

2，離散數(shù)學(xué)中單同態(tài)滿同態(tài)指什么

代數(shù)系統(tǒng)G1=到G2=的一個(gè)映射f，滿足f(x*y)=f(x)。f(y)，任意的x,y∈G1。稱為f是G1到G2的同態(tài)。若f是單射，稱為單同態(tài)。若f是滿射，稱f是滿同態(tài)

離散數(shù)學(xué)中單同態(tài)滿同態(tài)指什么

3，離散數(shù)學(xué) 什么是單自同態(tài)

同態(tài)就是保運(yùn)算的映射，比如從一個(gè)群到另一個(gè)群的映射如果保持群加法不變，即f(u*v)=f(u)*f(v)，那么這個(gè)映射f就是一個(gè)同態(tài)。如果一個(gè)同態(tài)是從自身映射到自身，就叫自同態(tài)；如果一個(gè)同態(tài)是單射，就叫單同態(tài)；既是單同態(tài)又是自同態(tài)就叫單自同態(tài)。

離散數(shù)學(xué) 什么是單自同態(tài)

4，近世代數(shù)問題 同態(tài)和同構(gòu)的本質(zhì)區(qū)別是什么

在抽象的意義下,同構(gòu)的群是相同的群,研究中總是利用同構(gòu),把未知的群化為已知的群來研究.而同態(tài)一般沒有這個(gè)優(yōu)勢. 例子就是群{R,+}在e^x映射下同構(gòu)于{R+,*},兩個(gè)群可以看做相同的群. 而{R,+}的一個(gè)正規(guī)子群{Z,+}構(gòu)成的商群{R,+}/{Z,+},和{R,+}在自然同態(tài)下是同態(tài)的,而不是同構(gòu)的.所以兩者性質(zhì)不同.

5，代數(shù)的同態(tài)與同態(tài)的研究有什么研究背景

假設(shè)M，M′是兩個(gè)乘集，也就是說M和M′是兩個(gè)各具有一個(gè)閉合的結(jié)合法（一般寫成乘法）的代數(shù)系，σ是M射到M′的映射，并且任意兩個(gè)元的乘積的像是這兩個(gè)元的像的乘積，即對(duì)于M中任意兩個(gè)元a,b,滿足σ（a·b）=σ（a）·σ（b）；也就是說，當(dāng)a→σ（a），b→σ（b）時(shí)，a·b→σ（a·b），那么這映射σ就叫做M到M′上的同態(tài)。實(shí)際上這個(gè)概念就是把同構(gòu)概念中的雙射改成了一般的映射。如果σ是M射到M′內(nèi)的映射，則稱σ是M到M′內(nèi)的同態(tài)；如果σ是M射到M′上的映射，則稱σ是M到M′上的同態(tài)，此時(shí)又稱M和M′同態(tài)群的同態(tài)與同構(gòu)都是研究群與群之間關(guān)系的重要手段。同構(gòu)映射是群之間保持運(yùn)算的映射，存在同構(gòu)映射的兩個(gè)群可以看成同一個(gè)群，因?yàn)樗鼈冇邢嗤娜航Y(jié)構(gòu)。代數(shù)中最基本與最重要的課題就是搞清楚各種代數(shù)體系在同構(gòu)意義下的分類。 而同態(tài)映射只要求保持運(yùn)算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活，它能研究兩個(gè)不同構(gòu)的群之間的聯(lián)系。特別重要的是幾個(gè)同態(tài)定理，如同態(tài)基本定理告訴我們，兩個(gè)群在滿同態(tài)的條件下蘊(yùn)含著一個(gè)群同構(gòu)（G1/kerf≌G2）！在處理一些同構(gòu)問題時(shí)，我們也常常反過用這個(gè)定理，也就是說先構(gòu)造出滿同態(tài)。保持運(yùn)算的映射既然能研究兩個(gè)代數(shù)體系之間的一些關(guān)系，那么對(duì)于復(fù)雜一些的代數(shù)體系我們就可以用一些簡單的去研究它們。另外，群的自同構(gòu)和自同態(tài)也是研究群的重要手段.
不明白啊 = =！

6，敘述同態(tài)信號(hào)處理的基本原理

同態(tài)信號(hào)處理用同態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)處理。同態(tài)系統(tǒng)是服從廣義疊加原理、在代數(shù)運(yùn)算上可用輸入和輸出的矢量空間之間的線性變換來表征的非線性系統(tǒng)。 同態(tài)信號(hào)處理 homomorphic signal processing 同態(tài)信號(hào)處理在信號(hào)處理中，常需從帶有噪聲的信號(hào)中提取原始信號(hào)。一般用濾波處理方法濾除或削弱噪聲干擾以及其他不需要的信號(hào)。對(duì)于疊加性組合信號(hào)，可用線性濾波器將它們分離開。對(duì)于實(shí)用中常見的非疊加性 組合信號(hào)（如乘積性信號(hào)和褶積性信號(hào)），靠線性濾波器分離或處理這些信號(hào)分量往往是無效的，這時(shí)應(yīng)采用非線性濾波，即要用同態(tài)濾波處理系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)處理。在輸入輸出運(yùn)算相同的情況下，同態(tài)系統(tǒng)可分為相乘信號(hào)的同態(tài)濾波處理和褶積信號(hào)的同態(tài)濾波處理兩種。在許多實(shí)際問題中，信號(hào)為兩個(gè)或多個(gè)分量的乘積（如在有衰落的傳輸信道中，衰落效應(yīng)可看作一個(gè)緩變分量和傳輸信號(hào)相乘）。對(duì)這類相乘信號(hào)，如用線性系統(tǒng)來分離信號(hào)各成分或單獨(dú)地改善某一信號(hào)成分往往是無效的。但利用相乘信號(hào)的同態(tài)濾波處理，就可以取得較好的濾波效果。在多徑或混響環(huán)境中進(jìn)行通信、定位或記錄，產(chǎn)生失真的效果可以看成是干擾與所需信號(hào)的褶積，對(duì)這類信號(hào)可用褶積信號(hào)的同態(tài)濾波處理。在語音、圖像、雷達(dá)、聲吶、地震勘探以及生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域中，同態(tài)信號(hào)處理獲得廣泛的應(yīng)用。編輯本段同態(tài)系統(tǒng)服從廣義迭加原理 用符號(hào) T〔·〕表示系統(tǒng)變換，用“囗”表示輸入信號(hào)的組成分量的廣義迭加，用“:“表示輸入信號(hào)矢量與標(biāo)量C之間的一種廣義乘法運(yùn)算，用“○”和“”分別表示輸出信號(hào)的組成分量的廣義相加和標(biāo)乘的運(yùn)算，于是這類同態(tài)系統(tǒng)可以用三個(gè)子系統(tǒng)D□相級(jí)聯(lián)組成(圖1)。其中第一個(gè)子系統(tǒng)D□具有如下性質(zhì)： D□【x1(n)□x2(n)】＝D□【x1(n)】+D□【x2(n)】 ＝憫1(n)+憫2(n) D□【C:x1(n)】＝CD□【x1(n)】＝C憫1(n) 可見，子系統(tǒng)D□服從廣義迭加原理，其輸入運(yùn)算是“囗”，輸出運(yùn)算是“＋”。子系統(tǒng)D□ 的作用是將由信號(hào)分量按運(yùn)算法則“囗”組合起來的信號(hào)變換成按常規(guī)線性相加的信號(hào)分量D□【x1(n) 同態(tài)信號(hào)處理】和D□【x2(n)】。因此,D□是一個(gè)同態(tài)系統(tǒng)。 系統(tǒng)L是一個(gè)普通的線性系統(tǒng)，于是有 L【憫1(n)+憫2(n)】＝L【憫1(n)】+L【憫2(n)】 ＝尳1(n)+尳2(n) L【C憫1(n)】＝CL【憫1(n)】＝C尳1(n) 最后一個(gè)子系統(tǒng) D劸是將系統(tǒng)L的輸出按運(yùn)算規(guī)則“○”進(jìn)行逆運(yùn)算變換為系統(tǒng)輸出，有 D劸【尳1(n)+尳2(n)】＝D劸【尳1(n)】+D劸【尳2(n)】 ＝y(tǒng)1(n)+y2(n) D劸【C尳(n)】＝CD劸【尳(n)】＝C尳(n) 由于子系統(tǒng)D□是按運(yùn)算“囗”和“:“確定的一種特征系統(tǒng)，因此稱為對(duì)運(yùn)算“囗”的特征系統(tǒng)。同樣，D0是對(duì)運(yùn)算“○“的特征系統(tǒng)。顯然，具有相同運(yùn)算規(guī)則的第一子系統(tǒng)和第三子系統(tǒng)的所有同態(tài)系統(tǒng)，只是其線性系統(tǒng)部分有所不同。換言之,特征系統(tǒng)確定之后,剩下的就是線性濾波問題了。例如,要從信號(hào)x(n)＝x1(n)□x2(n)中恢復(fù)出有用信號(hào)x1(n)，首先就要找出一個(gè)特征系統(tǒng)D□，它能把x(n)變?yōu)? 同態(tài)信號(hào)處理D□【x(n)】＝D□【x1(n)】+D□【x2(n)】 ＝憫1(n)+憫2(n) 然后，適當(dāng)選擇和設(shè)計(jì)線性系統(tǒng)L, 只讓D□【x(n)】中的憫1(n)＝D□【n1(n)】分量通過，理想的情況是 尳(n)＝憫1(n)＝D□【x1(n)】 然后，取D0＝D□，得到逆特征系統(tǒng)的輸出為 y(n)＝D劸【尳(n)】＝D劸｛D□【x1(n)】｝＝x1(n) 因此,為了分離x1(n)和x2(n),必須用一個(gè)線性濾波器L來完全分離x1(n)和x2(n)。理想的分離取決于運(yùn)算法則“囗”以及輸入信號(hào)分量x1(n)和x2(n)的性質(zhì)。 同態(tài)濾波處理系統(tǒng) 在輸入和輸出運(yùn)算相同的情況下，同態(tài)系統(tǒng)可分為相乘信號(hào)的同態(tài)濾波處理和褶積信號(hào)的同態(tài)濾波處理兩種。編輯本段相乘信號(hào)的同態(tài)濾波處理 在許多實(shí)際問題中，信號(hào)為兩個(gè)或多個(gè)分量的乘積。例如，在有衰落的傳輸信道中，衰落效應(yīng)可以看作是一個(gè)緩變分量和傳輸信號(hào)相乘。又如，調(diào)幅信號(hào)可表示為載頻信號(hào)與包絡(luò)函數(shù)的乘積，在接收機(jī)內(nèi)需要分離載波和包絡(luò)。在這一類相乘信號(hào)中，用線性系統(tǒng)來分離信號(hào)各成分或單獨(dú)地改善某一信號(hào)成分往往是無效的。但利用相乘信號(hào)的同態(tài)濾波處理，就可以取得較好的濾波效果。 假設(shè)信 同態(tài)信號(hào)處理 ,且對(duì)所有n值x1(n)＞0和x2(n)＞0，則有 log【x1(n)·x2(n)】＝log｛x1(n)+log【x2(n)】｝ 但是，輸入信號(hào)x(n)不一定是正的，而且往往是復(fù)數(shù)信號(hào)。這時(shí)，就要用到復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)，于是輸入和輸出均為乘法的同態(tài)系統(tǒng),如圖2所示,其中序列x(n)、憫(n)、尳(n)及y(n)一般均為復(fù)數(shù)。 令x(n)＝|x(n)|exp｛jarg【x(n)】｝表示一個(gè)復(fù)數(shù)序列，則x(n)的復(fù)對(duì)數(shù)為 log【x(n)】＝log|x(n)|+jarg【x(n)】復(fù)對(duì)數(shù)log【x(n)】 的逆是復(fù)指數(shù)，即 y(n)＝exp｛log【x(n)】｝ ＝exp【log|x(n)|】·exp｛jarg【x(n)】｝ 復(fù)對(duì)數(shù)的虛部arg【x(n)】加上2π的任意整數(shù)倍，并不改變上式的結(jié)果。因此，如果不另加限制，復(fù)對(duì)數(shù)并不是唯一性變換，會(huì)出現(xiàn)多值性問題。為此，必須選擇能消除模糊的arg【x(n)】。但是系統(tǒng)log【x(n)】服從廣義迭加原理，x(n)＝x1(n)x2(n)必須存在下列關(guān)系 log|x(n)|＝log|x1(n)|+log|x2(n)| 同態(tài)信號(hào)處理arg【x(n)】＝arg【x1(n)】+arg【x2(n)】 只要保證上述相角關(guān)系成立,就能消除arg【x(n)】中的模糊。 褶積信號(hào)的同態(tài)濾波處理 在多徑或混響環(huán)境中進(jìn)行通信、定位或記錄，產(chǎn)生失真的效果可以看成是干擾與所需信號(hào)的褶積。在語音信號(hào)處理中，經(jīng)常要分離激勵(lì)源與聲道沖激響應(yīng)，至少在一段短時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為語音波形是由兩者的褶積構(gòu)成的。地震記錄數(shù)據(jù)是地震子波與含有巖層結(jié)構(gòu)信息的反射系數(shù)序列的褶積組合。離散褶積組合信號(hào)可以表示為 x(n)＝x1(n)*x2(n) 利用同態(tài)濾波處理可以解褶積（圖3）。特征系統(tǒng)D*具有如下性質(zhì)： D*【x1(n)*x2(n)】＝D*【x1(n)】+D*【x2(n)】 ＝憫1(n)+憫2(n) D*【C:x(n)】＝CD*【x(n)】＝C憫(n) 系統(tǒng)L是一個(gè)線性系統(tǒng)，D*-1是D*的逆系統(tǒng)。 同態(tài)信號(hào)處理褶積的Z變換是 x(Z)＝x1(Z)x2(Z) 即Z變換運(yùn)算也可以看作是一個(gè)系統(tǒng),它的輸入運(yùn)算為褶積，輸出運(yùn)算是乘法的同態(tài)變換。因此，利用Z變換就能把褶積組合變換成乘法組合，從而可以利用上述乘法同態(tài)濾波系統(tǒng)來處理。但是,通常函數(shù)x(Z)是個(gè)復(fù)數(shù),故不得不采用復(fù)對(duì)數(shù)運(yùn)算。
文章TAG：同態(tài)濾波同態(tài)同態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)同態(tài)

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