這對關系通常稱為希爾伯特變換對，公式(4.35)稱為希爾伯特變換，公式(4.36)稱為希爾伯特逆變換。如何證明希爾伯特變換h(1)V可以從兩個角度來理解，1.從希爾伯特變換的定義，即x(t)的希爾伯特變換是x(t)與1/(πt)的卷積，當x(t)為常數(shù)等于1時，卷積只留下1/(πt)在整個實數(shù)軸上的積分，當然是發(fā)散的，所以希爾伯特變換不存在，2.-0/在頻域中的意義。希爾伯特變換可以看作是一個90度移相器，它在正頻率范圍內(nèi)移動90度，在負頻率范圍內(nèi)移動90度，而在零頻率處的相移為零或未定義，所以它的希爾伯特變換對于DC信號是沒有意義的。
f(t) 希爾伯特變換的傅里葉變換等于f(t)乘以j SGN (ω)，即H (ω) f (ω)會產(chǎn)生影響。物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是解析函數(shù)，其脈沖響應一定是因果函數(shù)(即脈沖響應為零)。也就是說，時間域的因果性等同于頻率域的解析性。物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的實部和虛部之間存在一定的制約關系。在物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的實部和虛部之間存在對應的確定關系。這對關系通常稱為希爾伯特變換對，公式(4.35)稱為希爾伯特變換，公式(4.36)稱為希爾伯特逆變換。
HHT的主要內(nèi)容由兩部分組成。第一部分是經(jīng)驗模態(tài)分解(EMD)，由黃提出。第二部分是HilbertSpectrumAnalysis (HSA)。簡單來說，HHT處理非平穩(wěn)信號的基本過程是:首先用EMD方法將給定信號分解成若干個本征模函數(shù)(用本征模函數(shù)或IMF表示，也叫本征模函數(shù))，這些IMF是滿足一定條件的分量；
3、離散的 希爾伯特變換假設真實地震道x(t)滿足采樣定理的條件，其采樣間隔為δ t..根據(jù)公式(12111)，x(t)的希爾伯特變換是地球物理數(shù)字信號分析與處理技術，其頻譜為，其中地球物理數(shù)字信號分析與處理技術因此滿足采樣定理的條件，得到地球物理數(shù)字信號分析與處理技術也滿足采樣定理，所以當時建立了離散傅里葉變換地球物理數(shù)字信號分析與處理技術，因此建立了地球物理數(shù)字信號分析與處理技術。
