歐拉公式推導(dǎo)，求三角形中歐拉公式的推導(dǎo)過程

來源：整理時間：2023-08-27 08:55:29 編輯：智能門戶手機(jī)版

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1，求三角形中歐拉公式的推導(dǎo)過程
2，歐拉公式是如何推導(dǎo)的
3，求歐拉公式的推導(dǎo)
4，歐拉公式的推導(dǎo)
5，歐拉公式是怎么推導(dǎo)出來的
6，歐拉公式推導(dǎo)

1，求三角形中歐拉公式的推導(dǎo)過程

已知三角形ABC中，外接圓圓心O，半徑R。內(nèi)接圓圓心I，半徑r。設(shè)d為O到I的距離。求證：d2=R(R-2r). 設(shè)角OAB=q， r=(R+d)sinq, r+d=Rcos2q 再由cos2q=1-2(sinq)2，得到(d+R+r)[d2-R(R-2r)]=0 因?yàn)镺I<OA,d又不等于-R-r，所以d2-R(R-2r)=0所以d2=R(R-2r)

這個問題這里說不清吧 15分做實(shí)在是虧大了呵呵我不是這個意思這個在這里不好說至少我會那種要畫圖好像可以用面積我給你想想嘛看能不能說清畢竟我毒害了一個人 2樓不是那個

求三角形中歐拉公式的推導(dǎo)過程

2，歐拉公式是如何推導(dǎo)的

歐拉公式有4條（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1 當(dāng)r=3時值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，是面數(shù)，則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體等等其實(shí)歐拉公式是有4個的，上面說的都是多面體的公式

歐拉公式是如何推導(dǎo)的

3，求歐拉公式的推導(dǎo)

e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明：因?yàn)閑^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-…… 在e＾x的展開式中把x換成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”減加”） e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式里的x換成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到： e^iπ+1=0.

歐拉公式有4條（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1 當(dāng)r=3時值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形設(shè)r為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=r＾2-2rr （4）多面體設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，是面數(shù)，則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體

求歐拉公式的推導(dǎo)

4，歐拉公式的推導(dǎo)

復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式 e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明：因?yàn)閑^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展開式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式里的x換成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率 π，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

歐拉公式有4條（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1 當(dāng)r=3時值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形設(shè)r為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=r＾2-2rr （4）多面體設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，是面數(shù)，則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體

5，歐拉公式是怎么推導(dǎo)出來的

用拓樸學(xué)方法證明歐拉公式嘗歐拉公式：對于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體），假設(shè)F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個數(shù)，那么 F-E+V=2。試一下用拓樸學(xué)方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點(diǎn)數(shù)的歐拉公式。證明如圖15（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）：（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。（3）對于這個平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。（6）這樣繼續(xù)進(jìn)行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。（7）因?yàn)樵瓉韴D形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。（8）如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點(diǎn)。因此F′-E′+V′仍然沒有變。即F′-E′+V′=1 成立，于是歐拉公式： F-E+V=2 得證。

歐拉公式有4條（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1 當(dāng)r=3時值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 此函數(shù)將兩種截然不同的函數(shù)---指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”。當(dāng)θ=π時，成為e＾iπ+1=0 它把數(shù)學(xué)中最重要的e、i、π、1、0聯(lián)系起來了。（3）三角形設(shè)r為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=r＾2-2rr （4）多面體設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則 v-e+f=2-2p p為虧格，2-2p為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體等等

6，歐拉公式推導(dǎo)

eix= 1 + i x - x2/2! - i x3/3! + x4/4! + i x5/5! + …　 = (1 - x2/2! + x4/4! + …) + i (x - x3/3! + x5/5! + …)又因?yàn)椋篶os x = 1 - x2/2! + x4/4! + …sin x = x - x3/3! + x5/5! + …所以eix = cos x + i sin x

歐拉公式有4條（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1 當(dāng)r=3時值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，是面數(shù)，則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體