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小波變換原理，誰(shuí)能清楚地介紹一下小波變換啊

來(lái)源：整理 時(shí)間：2025-02-10 13:18:02 編輯：智能門戶 手機(jī)版

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1，誰(shuí)能清楚地介紹一下小波變換啊

你知道傅立葉變換吧，傅立葉變換是把函數(shù)乘以e的-jwt再積分，小波變換是用函數(shù)本身再乘以一個(gè)函數(shù)再積分，被乘的這個(gè)函數(shù)像小波一樣叫小波函數(shù)。 對(duì)于圖像經(jīng)過(guò)小波變換后就把圖像分成了高頻部分和低頻部分，高頻反應(yīng)變化尖銳的部分，低頻反應(yīng)大體效果，要是去噪的話就把高頻部分再分成高頻部分和低頻部分，像2叉樹那樣分下去，分幾級(jí)自己限制，最后把最底層的合在一起（這樣中間產(chǎn)生的高頻部分就被去掉了），從而實(shí)現(xiàn)去噪。 就會(huì)這些了，建議到百度文庫(kù)下篇文章看看，有的解釋的很好。

誰(shuí)能清楚地介紹一下小波變換啊

2，什么是小波contourlet變換

小波變換是空間(時(shí)間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號(hào)與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個(gè)學(xué)科。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，小波分析是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號(hào)和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時(shí)間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號(hào)分析、語(yǔ)音合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的成果

什么是小波contourlet變換

3，什么是小波變換

傳統(tǒng)的信號(hào)理論，是建立在Fourier分析基礎(chǔ)上的，而Fourier變換作為一種全局性的變化，其有一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中人們開始對(duì)Fourier變換進(jìn)行各種改進(jìn)，小波分析由此產(chǎn)生了。小波分析是一種新興的數(shù)學(xué)分支，它是泛函數(shù)、Fourier分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的最完美的結(jié)晶；在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號(hào)處理、圖像處理、語(yǔ)音處理以及眾多非線性科學(xué)領(lǐng)域，它被認(rèn)為是繼Fourier分析之后的又一有效的時(shí)頻分析方法。 小波變換與Fourier變換相比，是一個(gè)時(shí)間和頻域的局域變換因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題。http://baike.baidu.com/view/586841.htm

什么是小波變換

4，如何理解傅里葉變換和小波變換

首先本文不是要從艱深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)來(lái)解釋傅里葉或者小波變換，僅僅總結(jié)一下自己再理解傅里葉和小波變換時(shí)候的心得。傅里葉變換：1）首先傅里葉變換是傅里葉級(jí)數(shù)（有限周期 函數(shù)） 向（無(wú)限周期 函數(shù)）的擴(kuò)展，將該函數(shù)展開成無(wú)限多個(gè)任意周期的正弦或余弦函數(shù)的和（或積分）。2）傅里葉級(jí)數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)例如cosx項(xiàng)系數(shù)是原函數(shù)與其在某一定義域內(nèi)的積分，顯然我們可以將該過(guò)程理解為對(duì)這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行相關(guān)，將相關(guān)系數(shù)作為該頻率處的強(qiáng)度。3）經(jīng)過(guò)傅里葉變換之后得到的是頻域的信息，時(shí)間信息完全丟失，很多人會(huì)問(wèn)那為什么逆變換可以完全恢復(fù)原始信號(hào)？其實(shí)，這個(gè)可以理解為三維空間離得變換，這里涉及到泛函的一些知識(shí)，其通俗理解方法也將在下邊進(jìn)行解釋。傅里葉逆變換同樣可以理解為相關(guān)，只是此時(shí)需保證變換時(shí)t不變，也就是計(jì)算某時(shí)刻不同頻率波形與傅里葉變換之后的頻域信號(hào)之間的相關(guān)，積分后得到該時(shí)刻各頻率分量在該時(shí)刻的總貢獻(xiàn)。可以知道所有有關(guān)時(shí)間的信息都是由e^(ift)導(dǎo)出的。4） 從泛函的角度，我們可以把傅里葉級(jí)數(shù)中的三角函數(shù)短時(shí)傅里葉變換：由上敘述可知傅里葉變換之后的圖像僅包含頻域信息，丟失了時(shí)域信息，在那些同時(shí)需要頻域和時(shí)域信息的時(shí)候（在什么時(shí)候存在哪些頻率）就顯得無(wú)能為力，因此出現(xiàn)了短時(shí)傅里葉變換，短時(shí)傅里葉變換認(rèn)為在一個(gè)小的時(shí)間段deltat內(nèi)信號(hào)是穩(wěn)定的，信號(hào)包含的頻率是不變的，利用一個(gè)窗口函數(shù)與原始函數(shù)卷積，在特定的時(shí)間僅計(jì)算該時(shí)間前后共deltat時(shí)間內(nèi)的信號(hào)的傅里葉變換作為該時(shí)間點(diǎn)的傅里葉變換，即該時(shí)刻的頻譜。

5，小波變換的數(shù)學(xué)原理

小波分析理論 小波分析是目前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)網(wǎng)域，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。 小波變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過(guò)物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國(guó)的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到??名數(shù)學(xué)家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認(rèn)可一樣。幸運(yùn)的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無(wú)條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似於現(xiàn)在的小波基；1986年??名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同意方法??多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來(lái)，其中比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講（Ten Lectures on Wavelets）》對(duì)小波的普及起了重要的推動(dòng)作用。它與Fourier變換、視窗Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個(gè)時(shí)間和頻率的局網(wǎng)域變換，因而能有效的從信號(hào)中提取資訊，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題，從而小波變化被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。 小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地。現(xiàn)在，它已經(jīng)在科技資訊產(chǎn)業(yè)領(lǐng)網(wǎng)域取得了令人矚目的成就。 電子資訊技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)網(wǎng)域，它的重要方面是影像和信號(hào)處理。現(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來(lái)看，信號(hào)與影像處理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理（影像可以看作是二維信號(hào)），在小波分析地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問(wèn)題?，F(xiàn)在，對(duì)於其性質(zhì)隨實(shí)踐是穩(wěn)定不變的信號(hào)，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的，而特別適用於非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。 事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)網(wǎng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)網(wǎng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、影像處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；電腦分類與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用於數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在影像處理方面的影像壓縮、分類、識(shí)別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高解析度等。 (1)小波分析用於信號(hào)與影像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號(hào)與影像的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾。基於小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波網(wǎng)域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。 (2)小波在信號(hào)分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用於邊界的處理與濾波、時(shí)頻分析、信噪分離與提取弱信號(hào)、求分形指數(shù)、信號(hào)的識(shí)別與診斷以及多尺度邊緣偵測(cè)等。 (3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括電腦視覺、電腦圖形學(xué)、曲線設(shè)計(jì)、湍流、遠(yuǎn)端宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。

6，連續(xù)小波變換的原理

1.1連續(xù)小波基函數(shù)所謂小波(wavelet)，即存在于一個(gè)較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)ψ(t)為一平方可積函數(shù)，即ψ(t)∈L2(R)，若其傅里葉變換Ψ(ω)滿足條件：則稱ψ(t)為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可允許條件。根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點(diǎn)；另一方面，根據(jù)可允許性條件可知Ψ(ω)|ω=0=0，即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動(dòng)性。下圖為一個(gè)小波的例子。 將小波母函數(shù)ψ(t)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子(亦稱尺度因子)為a，平移因子為τ，并記平移伸縮后的函數(shù)為ψa，r(t)，則： 并稱ψa，r(t)為參數(shù)為a和τ的小波基函數(shù)。由于a和τ均取連續(xù)變化的值，因此又稱之為連續(xù)小波基函數(shù)，他們是由同一母函數(shù)ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。連續(xù)小波基函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)是窗口面積不隨參數(shù)a、τ而變，它是小波母函數(shù)的時(shí)、頻窗口寬度Δt和Δω的積。這正是海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理指出的：Δt、Δω的大小是互相制約的，乘積ΔtΔω≥1/2，并且僅當(dāng)函數(shù)ψ(t)為高斯函數(shù)時(shí)等號(hào)成立。將不同a、τ值下的時(shí)、頻域窗口繪在同一個(gè)圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面，如下圖。小波的這一性質(zhì)是時(shí)頻分析的重要依據(jù)。 1.2連續(xù)小波變換將L2(R)空間的任意函數(shù)f(t)在小波基下進(jìn)行展開，稱其為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換CWT，變換式為 式中：<·>表示內(nèi)積運(yùn)算。當(dāng)所用小波的允許性條件成立時(shí)，其逆變換存在。 其中Cψ即為ψ(t)的允許性條件。根據(jù)CWT的定義可知，小波變換同傅里葉變換一樣，也是一種積分變換，稱WTf(a，τ)為小波變換系數(shù)。由于小波基具有尺度和位移兩個(gè)參數(shù)，因此將在小波基展開意味著將一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維的時(shí)間-尺度相平面上。而且由于小波基本身所具有的特點(diǎn)，函數(shù)投影到小波變換域后，有利于提取某些特征。與傅里葉變換不同，連續(xù)小波基函數(shù)構(gòu)成了一組非正交的過(guò)度完全基。即任意函數(shù)的小波展開系數(shù)之間存在相關(guān)性。若用Kψ表示兩個(gè)基函數(shù)ψ(a，τ)及ψ(a，τ)的相關(guān)性的大小，則： Kψ表征了連續(xù)尺度、時(shí)移為半平面(a，τ)上的兩個(gè)不同點(diǎn)之間的CWT系數(shù)的相關(guān)性，也稱之為再生核或重建核。
一般情況下，這個(gè)閾值函數(shù)的選取與噪聲的方差是緊密相關(guān)的。 通常情況下，現(xiàn)在論文中的噪聲都是選用高斯白噪聲。 被噪聲污染的信號(hào)=干凈的信號(hào)+噪聲， 由于信號(hào)在空間上(或者時(shí)間域)是有一定連續(xù)性的，因此在小波域，有效信號(hào)所產(chǎn)生的小波系數(shù)其模值往往較大；而高斯白噪聲在空間上(或者時(shí)間域)是沒(méi)有連續(xù)性的，因此噪聲經(jīng)過(guò)小波變換，在小波閾仍然表現(xiàn)為很強(qiáng)的隨機(jī)性，通常仍認(rèn)為是高斯白噪的。 那么就得到這樣一個(gè)結(jié)論：在小波域，有效信號(hào)對(duì)應(yīng)的系數(shù)很大，而噪聲對(duì)應(yīng)的系數(shù)很小。 剛剛已經(jīng)說(shuō)了，噪聲在小波域?qū)?yīng)的系數(shù)仍滿足高斯白噪分布。如果在小波域，噪聲的小波系數(shù)對(duì)應(yīng)的方差為sigma，那么根據(jù)高斯分布的特性，絕大部分(99.99%)噪聲系數(shù)都位于[-3*sigma，3*sigma]區(qū)間內(nèi)。因此，只要將區(qū)間[-3*sigma，3*sigma]內(nèi)的系數(shù)置零(這就是常用的硬閾值函數(shù)的作用)，就能最大程度抑制噪聲的，同時(shí)只是稍微損傷有效信號(hào)。將經(jīng)過(guò)閾值處理后的小波系數(shù)重構(gòu)，就可以得到去噪后的信號(hào)。 常用的軟閾值函數(shù)，是為了解決硬閾值函數(shù)“一刀切”導(dǎo)致的影響(模小于3*sigma的小波系數(shù)全部切除，大于3*sigma全部保留，勢(shì)必會(huì)在小波域產(chǎn)生突變，導(dǎo)致去噪后結(jié)果產(chǎn)生局部的抖動(dòng)，類似于傅立葉變換中頻域的階躍會(huì)在時(shí)域產(chǎn)生拖尾)。軟閾值函數(shù)將模小于3*sigma的小波系數(shù)全部置零，而將模大于3*sigma的做一個(gè)比較特殊的處理，大于3*sigma的小波系數(shù)統(tǒng)一減去3*sigma，小于-3*sigma的小波系數(shù)統(tǒng)一加3*sigma。經(jīng)過(guò)軟閾值函數(shù)的作用，小波系數(shù)在小波域就比較光滑了，因此用軟閾值去噪得到的圖象看起來(lái)很平滑，類似于冬天通過(guò)窗戶看外面一樣，像有層霧罩在圖像上似的。 比較硬閾值函數(shù)去噪和軟閾值函數(shù)去噪：硬閾值函數(shù)去噪所得到的峰值信噪比(psnr)較高，但是有局部抖動(dòng)的現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)去噪所得到的psnr不如硬閾值函數(shù)去噪，但是結(jié)果看起來(lái)很平滑，原因就是軟閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行了較大的 “社會(huì)主義改造”，小波系數(shù)改變很大。因此各種各樣的閾值函數(shù)就出現(xiàn)了，其目的我認(rèn)為就是要使大的系數(shù)保留，小的系數(shù)被剔出，而且在小波域系數(shù)過(guò)渡要平滑。 還有的什么基于隱馬爾科夫模型去噪，高斯混合尺度去噪(英文縮寫好像是gsr,不好意思，記不大清楚了)和自適應(yīng)閾值去噪等，也就是利用有效信號(hào)的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)在小波域的分布特征不同等特征來(lái)進(jìn)行有效信號(hào)的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)在小波域的分離，然后重構(gòu)得到去噪后的信號(hào)。 說(shuō)了這么多，忘了關(guān)鍵的一點(diǎn)，如何估計(jì)小波域噪聲方差sigma的估計(jì)，這個(gè)很簡(jiǎn)單：把信號(hào)做小波變換，在每一個(gè)子帶利用robust estimator估計(jì)就可以(可能高頻帶和低頻帶的方差不同)。 robust estimator就是將子帶內(nèi)的小波系數(shù)模按大小排列，然后取最中間那個(gè)，然后把最中間這個(gè)除以0.6745就得到噪聲在某個(gè)子帶內(nèi)的方差sigma。利用這個(gè)sigma，然后選種閾值函數(shù)，就可以去去噪了~~
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