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1，誰能清楚地介紹一下小波變換啊
2，什么是小波contourlet變換
3，什么是小波變換
4，如何理解傅里葉變換和小波變換
5，小波變換的數(shù)學(xué)原理
6，連續(xù)小波變換的原理

1，誰能清楚地介紹一下小波變換啊

你知道傅立葉變換吧，傅立葉變換是把函數(shù)乘以e的-jwt再積分，小波變換是用函數(shù)本身再乘以一個函數(shù)再積分，被乘的這個函數(shù)像小波一樣叫小波函數(shù)。對于圖像經(jīng)過小波變換后就把圖像分成了高頻部分和低頻部分，高頻反應(yīng)變化尖銳的部分，低頻反應(yīng)大體效果，要是去噪的話就把高頻部分再分成高頻部分和低頻部分，像2叉樹那樣分下去，分幾級自己限制，最后把最底層的合在一起（這樣中間產(chǎn)生的高頻部分就被去掉了），從而實現(xiàn)去噪。就會這些了，建議到百度文庫下篇文章看看，有的解釋的很好。

誰能清楚地介紹一下小波變換啊

2，什么是小波contourlet變換

小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機科學(xué)、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學(xué)科。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，小波分析是一個新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價值的成果

什么是小波contourlet變換

3，什么是小波變換

傳統(tǒng)的信號理論，是建立在Fourier分析基礎(chǔ)上的，而Fourier變換作為一種全局性的變化，其有一定的局限性。在實際應(yīng)用中人們開始對Fourier變換進(jìn)行各種改進(jìn)，小波分析由此產(chǎn)生了。小波分析是一種新興的數(shù)學(xué)分支，它是泛函數(shù)、Fourier分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的最完美的結(jié)晶；在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號處理、圖像處理、語音處理以及眾多非線性科學(xué)領(lǐng)域，它被認(rèn)為是繼Fourier分析之后的又一有效的時頻分析方法。小波變換與Fourier變換相比，是一個時間和頻域的局域變換因而能有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。http://baike.baidu.com/view/586841.htm

什么是小波變換

4，如何理解傅里葉變換和小波變換

首先本文不是要從艱深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)來解釋傅里葉或者小波變換，僅僅總結(jié)一下自己再理解傅里葉和小波變換時候的心得。傅里葉變換：1）首先傅里葉變換是傅里葉級數(shù)（有限周期函數(shù)）向（無限周期函數(shù)）的擴展，將該函數(shù)展開成無限多個任意周期的正弦或余弦函數(shù)的和（或積分）。2）傅里葉級數(shù)中各項系數(shù)例如cosx項系數(shù)是原函數(shù)與其在某一定義域內(nèi)的積分，顯然我們可以將該過程理解為對這兩個函數(shù)進(jìn)行相關(guān)，將相關(guān)系數(shù)作為該頻率處的強度。3）經(jīng)過傅里葉變換之后得到的是頻域的信息，時間信息完全丟失，很多人會問那為什么逆變換可以完全恢復(fù)原始信號？其實，這個可以理解為三維空間離得變換，這里涉及到泛函的一些知識，其通俗理解方法也將在下邊進(jìn)行解釋。傅里葉逆變換同樣可以理解為相關(guān)，只是此時需保證變換時t不變，也就是計算某時刻不同頻率波形與傅里葉變換之后的頻域信號之間的相關(guān)，積分后得到該時刻各頻率分量在該時刻的總貢獻(xiàn)?？梢灾浪杏嘘P(guān)時間的信息都是由e^(ift)導(dǎo)出的。4）從泛函的角度，我們可以把傅里葉級數(shù)中的三角函數(shù)短時傅里葉變換：由上敘述可知傅里葉變換之后的圖像僅包含頻域信息，丟失了時域信息，在那些同時需要頻域和時域信息的時候（在什么時候存在哪些頻率）就顯得無能為力，因此出現(xiàn)了短時傅里葉變換，短時傅里葉變換認(rèn)為在一個小的時間段deltat內(nèi)信號是穩(wěn)定的，信號包含的頻率是不變的，利用一個窗口函數(shù)與原始函數(shù)卷積，在特定的時間僅計算該時間前后共deltat時間內(nèi)的信號的傅里葉變換作為該時間點的傅里葉變換，即該時刻的頻譜。

5，小波變換的數(shù)學(xué)原理

小波分析理論小波分析是目前數(shù)學(xué)中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)網(wǎng)域，它同時具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經(jīng)驗的建立了反演公式，當(dāng)時未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到??名數(shù)學(xué)家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認(rèn)可一樣。幸運的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似於現(xiàn)在的小波基；1986年??名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同意方法??多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，其中比利時女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講（Ten Lectures on Wavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、視窗Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局網(wǎng)域變換，因而能有效的從信號中提取資訊，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地。現(xiàn)在，它已經(jīng)在科技資訊產(chǎn)業(yè)領(lǐng)網(wǎng)域取得了令人矚目的成就。電子資訊技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個領(lǐng)網(wǎng)域，它的重要方面是影像和信號處理。現(xiàn)今，信號處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號與影像處理可以統(tǒng)一看作是信號處理（影像可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號處理問題?，F(xiàn)在，對於其性質(zhì)隨實踐是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用於非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。事實上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)網(wǎng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)網(wǎng)域的許多學(xué)科；信號分析、影像處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；電腦分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用於數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在影像處理方面的影像壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高解析度等。 (1)小波分析用於信號與影像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與影像的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾。基於小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波網(wǎng)域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。 (2)小波在信號分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用於邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數(shù)、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣偵測等。 (3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括電腦視覺、電腦圖形學(xué)、曲線設(shè)計、湍流、遠(yuǎn)端宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。

6，連續(xù)小波變換的原理

1.1連續(xù)小波基函數(shù)所謂小波(wavelet)，即存在于一個較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)ψ(t)為一平方可積函數(shù)，即ψ(t)∈L2(R)，若其傅里葉變換Ψ(ω)滿足條件：則稱ψ(t)為一個基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可允許條件。根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點；另一方面，根據(jù)可允許性條件可知Ψ(ω)|ω=0=0，即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動性。下圖為一個小波的例子。將小波母函數(shù)ψ(t)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子(亦稱尺度因子)為a，平移因子為τ，并記平移伸縮后的函數(shù)為ψa，r(t)，則：并稱ψa，r(t)為參數(shù)為a和τ的小波基函數(shù)。由于a和τ均取連續(xù)變化的值，因此又稱之為連續(xù)小波基函數(shù)，他們是由同一母函數(shù)ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。連續(xù)小波基函數(shù)的一個重要性質(zhì)是窗口面積不隨參數(shù)a、τ而變，它是小波母函數(shù)的時、頻窗口寬度Δt和Δω的積。這正是海森堡測不準(zhǔn)原理指出的：Δt、Δω的大小是互相制約的，乘積ΔtΔω≥1/2，并且僅當(dāng)函數(shù)ψ(t)為高斯函數(shù)時等號成立。將不同a、τ值下的時、頻域窗口繪在同一個圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面，如下圖。小波的這一性質(zhì)是時頻分析的重要依據(jù)。 1.2連續(xù)小波變換將L2(R)空間的任意函數(shù)f(t)在小波基下進(jìn)行展開，稱其為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換CWT，變換式為式中：<·>表示內(nèi)積運算。當(dāng)所用小波的允許性條件成立時，其逆變換存在。其中Cψ即為ψ(t)的允許性條件。根據(jù)CWT的定義可知，小波變換同傅里葉變換一樣，也是一種積分變換，稱WTf(a，τ)為小波變換系數(shù)。由于小波基具有尺度和位移兩個參數(shù)，因此將在小波基展開意味著將一個時間函數(shù)投影到二維的時間-尺度相平面上。而且由于小波基本身所具有的特點，函數(shù)投影到小波變換域后，有利于提取某些特征。與傅里葉變換不同，連續(xù)小波基函數(shù)構(gòu)成了一組非正交的過度完全基。即任意函數(shù)的小波展開系數(shù)之間存在相關(guān)性。若用Kψ表示兩個基函數(shù)ψ(a，τ)及ψ(a，τ)的相關(guān)性的大小，則： Kψ表征了連續(xù)尺度、時移為半平面(a，τ)上的兩個不同點之間的CWT系數(shù)的相關(guān)性，也稱之為再生核或重建核。

一般情況下，這個閾值函數(shù)的選取與噪聲的方差是緊密相關(guān)的。通常情況下，現(xiàn)在論文中的噪聲都是選用高斯白噪聲。被噪聲污染的信號=干凈的信號+噪聲，由于信號在空間上(或者時間域)是有一定連續(xù)性的，因此在小波域，有效信號所產(chǎn)生的小波系數(shù)其模值往往較大；而高斯白噪聲在空間上(或者時間域)是沒有連續(xù)性的，因此噪聲經(jīng)過小波變換，在小波閾仍然表現(xiàn)為很強的隨機性，通常仍認(rèn)為是高斯白噪的。那么就得到這樣一個結(jié)論：在小波域，有效信號對應(yīng)的系數(shù)很大，而噪聲對應(yīng)的系數(shù)很小。剛剛已經(jīng)說了，噪聲在小波域?qū)?yīng)的系數(shù)仍滿足高斯白噪分布。如果在小波域，噪聲的小波系數(shù)對應(yīng)的方差為sigma，那么根據(jù)高斯分布的特性，絕大部分(99.99%)噪聲系數(shù)都位于[-3*sigma，3*sigma]區(qū)間內(nèi)。因此，只要將區(qū)間[-3*sigma，3*sigma]內(nèi)的系數(shù)置零(這就是常用的硬閾值函數(shù)的作用)，就能最大程度抑制噪聲的，同時只是稍微損傷有效信號。將經(jīng)過閾值處理后的小波系數(shù)重構(gòu)，就可以得到去噪后的信號。常用的軟閾值函數(shù)，是為了解決硬閾值函數(shù)“一刀切”導(dǎo)致的影響(模小于3*sigma的小波系數(shù)全部切除，大于3*sigma全部保留，勢必會在小波域產(chǎn)生突變，導(dǎo)致去噪后結(jié)果產(chǎn)生局部的抖動，類似于傅立葉變換中頻域的階躍會在時域產(chǎn)生拖尾)。軟閾值函數(shù)將模小于3*sigma的小波系數(shù)全部置零，而將模大于3*sigma的做一個比較特殊的處理，大于3*sigma的小波系數(shù)統(tǒng)一減去3*sigma，小于-3*sigma的小波系數(shù)統(tǒng)一加3*sigma。經(jīng)過軟閾值函數(shù)的作用，小波系數(shù)在小波域就比較光滑了，因此用軟閾值去噪得到的圖象看起來很平滑，類似于冬天通過窗戶看外面一樣，像有層霧罩在圖像上似的。比較硬閾值函數(shù)去噪和軟閾值函數(shù)去噪：硬閾值函數(shù)去噪所得到的峰值信噪比(psnr)較高，但是有局部抖動的現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)去噪所得到的psnr不如硬閾值函數(shù)去噪，但是結(jié)果看起來很平滑，原因就是軟閾值函數(shù)對小波系數(shù)進(jìn)行了較大的 “社會主義改造”，小波系數(shù)改變很大。因此各種各樣的閾值函數(shù)就出現(xiàn)了，其目的我認(rèn)為就是要使大的系數(shù)保留，小的系數(shù)被剔出，而且在小波域系數(shù)過渡要平滑。還有的什么基于隱馬爾科夫模型去噪，高斯混合尺度去噪(英文縮寫好像是gsr,不好意思，記不大清楚了)和自適應(yīng)閾值去噪等，也就是利用有效信號的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)在小波域的分布特征不同等特征來進(jìn)行有效信號的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)在小波域的分離，然后重構(gòu)得到去噪后的信號。說了這么多，忘了關(guān)鍵的一點，如何估計小波域噪聲方差sigma的估計，這個很簡單：把信號做小波變換，在每一個子帶利用robust estimator估計就可以(可能高頻帶和低頻帶的方差不同)。 robust estimator就是將子帶內(nèi)的小波系數(shù)模按大小排列，然后取最中間那個，然后把最中間這個除以0.6745就得到噪聲在某個子帶內(nèi)的方差sigma。利用這個sigma，然后選種閾值函數(shù)，就可以去去噪了~~