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二重積分的性質(zhì)，二重積分的概念和性質(zhì)

來源：整理 時(shí)間：2025-01-10 07:11:40 編輯：智能門戶 手機(jī)版

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1，二重積分的概念和性質(zhì)

2x^3和2sin(x/y)都是關(guān)于x的奇函數(shù)，積分結(jié)果為0原積分=∫∫7d〥=7S(圓環(huán)）=7*pi*(4-1)=21pi

二重積分的概念和性質(zhì)

2，二重積分的性質(zhì)

1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面 2函數(shù)的和(或差)的二重積分等于各個(gè)函數(shù)二重積分的和(或差) 3二重積分對(duì)積分區(qū)域具有可加性

二重積分的性質(zhì)

3，二重積分的概念與性質(zhì)

f(x,y)=e^(x^2+y^2)cosxy由積分中值定理∫∫f(x,y)dxdy=S*f(a,b)=πr^2*f(a,b)S為圓域面積，(a,b)為圓域內(nèi)某點(diǎn)，r趨近于0是時(shí)，(a,b)趨近于(0,0)原極限=f(0,0)=1

二重積分的概念與性質(zhì)

4，求證二重積分的性質(zhì)二fxydfxydfxyd

將二重積分都轉(zhuǎn)化為環(huán)路積分。其中用∮表示積分區(qū)域?yàn)镈的邊界，∮1表示積分區(qū)域?yàn)镈1的邊界，∮2表示積分區(qū)域?yàn)镈2的邊界.用∮11和∮22分別表示∮1和∮2在D內(nèi)部的部分，用∮10和∮20分別表示∮1和∮2的其余部分則∮=∮10 +∮20 =（∮1 -∮11）+（∮2 - ∮22）由于∮11和∮22在D的內(nèi)部，故∮11 +∮22 的環(huán)路積分為0.因此∮=∮1 +∮2因此該性質(zhì)成立
額

5，二重積分的概念與性質(zhì)

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上,將區(qū)域D任意分成n個(gè)子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i個(gè)子域的面積.在Δδi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí),此和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）這時(shí),稱f(x,y)在D上可積,其中f(x,y)稱被積函數(shù),f(x,y)dδ稱為被積表達(dá)式,dδ稱為面積元素, D稱為積分域,∫∫稱為二重積分號(hào).同時(shí)二重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力等等。此外二重積分在實(shí)際生活，比如無線電中也被廣泛應(yīng)用。編輯本段性質(zhì)性質(zhì)1 （積分可加性） 函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性質(zhì)2 （積分滿足數(shù)成） 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k為常數(shù)）性質(zhì)1與性質(zhì)2合稱為積分的線性性。性質(zhì)3 如果在區(qū)域D上有f(x,y)≦g(x,y),則∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推論 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性質(zhì)4 設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上的最大值和最小值，σ為區(qū)域D的面積，則mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性質(zhì)5 如果在有界閉區(qū)域D上f(x,y)=1, σ為D的面積，則Sσ=∫∫dσ性質(zhì)6二重積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上連續(xù)，σ為區(qū)域的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)（ξ，η），使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ

6，高數(shù)二重積分

重積分1·二重積分（1） 二重積分定義設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上，將區(qū)域任意分成個(gè)子域，并以表示第個(gè)子域的面積。在上任取一點(diǎn)作和。如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，此和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記為，即這時(shí)，稱在上可積，其中稱被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為面積元素，稱為積分域，稱為二重積分號(hào)。（2） 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1（積分可加性）函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性質(zhì)2（積分滿足數(shù)乘）被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k為常數(shù)）性質(zhì)1與性質(zhì)2合稱為積分的線性性。性質(zhì)3 如果在區(qū)域D上有f(x,y)≦g(x,y),則∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推論∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性質(zhì)4設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上的最大值和最小值，σ為區(qū)域D的面積，則mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性質(zhì)5如果在有界閉區(qū)域D上f(x,y)=1, σ為D的面積，則Sσ=∫∫dσ重積分1·二重積分（1） 二重積分定義設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上，將區(qū)域任意分成個(gè)子域，并以表示第個(gè)子域的面積。在上任取一點(diǎn)作和。如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，此和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記為，即這時(shí)，稱在上可積，其中稱被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為面積元素，稱為積分域，稱為二重積分號(hào)。（2） 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1（積分可加性）函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性質(zhì)2（積分滿足數(shù)乘）被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k為常數(shù)）性質(zhì)1與性質(zhì)2合稱為積分的線性性。性質(zhì)3 如果在區(qū)域D上有f(x,y)≦g(x,y),則∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推論∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性質(zhì)4設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上的最大值和最小值，σ為區(qū)域D的面積。
化為極坐標(biāo)， x^2+y^2 = 2y, 即 r = 2sint ; x^2+y^2 = 4y, 即 r = 4sint ;x = √3y 即 t = π/6 ; y = √3x 即 t = π/3 .I = ∫∫<D>(x^2+y^2)dxdy = ∫<π/6, π/3>dt∫<2sint, 4sint> r^2 rdr= (1/4)∫<π/6, π/3>dt[r^4]<2sint, 4sint> = 60∫<π/6, π/3>(sint)^4dt= 15∫<π/6, π/3>(1-cos2t)^2dt = 15∫<π/6, π/3>[1-2cos2t+(cos2t)^2]dt= 15∫<π/6, π/3>[3/2-2cos2t+(1/2)cos4t]dt= 15[3t/2 - sin2t + (1/8)sin4t]<π/6, π/3>= 15(π/2 - √3/2 - √3/16 - π/4 + √3/2 - √3/16)= 15(π/4 -√3/8)
設(shè)右端重積分的值為a 在等式兩端再取區(qū)域d上的重積分有 a=∫∫(xy+a)dxdy=1/12+1/3*a 解得a=1/8 所以f(x,y)=xy+1/8
這是我的理解：二重積分和二次積分的區(qū)別二重積分是有關(guān)面積的積分，二次積分是兩次單變量積分。①當(dāng)f(x,y)在有界閉區(qū)域內(nèi)連續(xù)，那么二重積分和二次積分相等。對(duì)開區(qū)域或無界區(qū)域這關(guān)系不衡成立。②可二次積分不一定能二重積分。如對(duì)[0,1]*[0,1]區(qū)域，對(duì)任意x∈[0,1]可定義一個(gè)對(duì)y連續(xù)的函數(shù)g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意義，一般地∫∫g(x,y)dσ沒意義。③可以二重積分不一定能二次積分。區(qū)域S=積分對(duì)調(diào)上面③的例子中積分對(duì)調(diào)了一個(gè)可以積分，一個(gè)不可以積分（先對(duì)y積分x固定時(shí)積分得到2/x^3.2/x^3對(duì)x(x屬于[1,無窮）可積分?？蓪?duì)調(diào)x,y的情況是連續(xù)且絕對(duì)可積，對(duì)x或y求分步積分存在。特殊情況函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)可對(duì)調(diào)x,y，這時(shí)由于連續(xù)性函數(shù)在閉區(qū)域存在極值。積分變換一定要求變換后的積分區(qū)間與原來相同，且不能有重復(fù)積分的情況
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