傅里葉級數(shù)公式，一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的公式求助

來源：整理時間：2024-06-27 23:47:38 編輯：智能門戶手機版

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1，一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的公式求助
2，傅里葉級數(shù)
3，傅里葉級數(shù)求解
4，如何理解傅里葉變換公式
5，傅立葉級數(shù)是怎么一回事
6，傅里葉級數(shù)的詳細介紹

1，一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的公式求助

你好在大一的下冊里面，我就是大一的，f(t)=A0+∑Ansin(nωt+Φn)。也可以是，f(t)=a0/2+∑(an*cosnt+bn*sinnt)。。。

一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的公式求助

2，傅里葉級數(shù)

它的傅里葉展開就是它自己，原因是COS函數(shù)的正交性。如果你想深刻理解傅里葉變換的本質(zhì)的話可以看下面一段文字~這樣說吧：首先我們知道線性代數(shù)里，一個N維的向量（F）可以由N個完備的正交歸一基底疊加而成，疊加系數(shù)怎么求呢？就是直接用這個向量（f）點乘各基底（就是用點乘來求它在各基底的分量）。好現(xiàn)在你把一個函數(shù)看成一個無限維的向量，每個函數(shù)值對應的就是一維，而在這個無限維的空間里，點乘被定義為這兩個函數(shù)相乘后再積分（就跟高中里a·b=axbx+ayby一個道理）。而sin nx 和 cos nx就是這個空間里的一組正交基底??！按這種點乘的定義他們相互正交！?。ìF(xiàn)在你明白為什么他們要積分出來個0了吧）所以這就是傅里葉變換的精髓了，任何一個函數(shù)都能由這些相互正交的基底疊加出來，而疊加系數(shù)怎么求呢？就是前面說的點乘各基底（所以這就是為什么求疊加系數(shù)是用被展開函數(shù)去和這些sin cos積分）最后注意一個問題就是基底要歸一，歸一就是基底的模長要等于1，模長就是自己點乘自己

傅里葉級數(shù)，忘得差不多了，好像記得端點π滿足f(π)=[lim(x->π-)f(x)+lim(x->-π+)f(x)]/2, 對于奇函數(shù)，lim(x->π-)f(x)+lim(x->-π+)f(x)=0。所以端點處的函數(shù)值，是人為的定義的，保證在這一點函數(shù)展開正確。原函數(shù)在這一點間斷，那么展成傅里葉級數(shù)，在這一點也間斷。從別處偷來的一段話，在間斷點，fourier級數(shù)會突變。說白了就是:在函數(shù)間斷處fourier級數(shù)也間斷，但fourier間斷處值始終為1/2(展開式左右極限和)，而函數(shù)間斷處值是人為定義的，你想取多少就取多少。如果恰巧取1/2(展開式左右極限和)，那么fourier級數(shù)在這點就收斂，否則反之

傅里葉級數(shù)

3，傅里葉級數(shù)求解

解：∵以2l為周期的函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)的表達式為f(x)=(1/2)a0+∑[ancos(nπx/l)+bnsin(nπx/l)]，其中an=(1/l)∫(-l,l)f(x)cos(nπx/l)dx（n=0,1,2，……），bn=(1/l)∫(-l,l)f(x)cos(nπx/l)dx（n=1，2，……），∴1題，l=1，f(x)=e^x。∴a0=(1/l)∫(-l,l)f(x)dx=∫(-1,1)e^xdx=e-1/e。an=∫(-1,1)e^xcos(nπx)dx=[(-1)^n](a0)/[1+(nπ)^2]，bn=∫(-1,1)e^xsin(nπx)dx=-[(-1)^n](a0)nπ/[1+(nπ)^2]，∴f(x)=(a0)2題，l=1/2，f(x)=1-x^2?！郺0=(1/l)∫(-l,l)f(x)dx=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)dx=11/6。an=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)cos(2nπx)dx=-[(-1)^n]/(nπ)^2，bn=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)sin(2nπx)dx=0，∴f(x)=11/12-(1/π^2)∑[(-1)^n][cos(2nπx)]/n^2}，其中n=1，2，……，∞。

求 fourier 級數(shù)是格式的寫法：函數(shù) f(x) = π-x， 0<=x<=2π，的 fourier 系數(shù) a(0) = (1/π)∫[0, 2π]f(x)dx = (1/π)∫[0, 2π](π-x)dx = ……， a(n) = (1/π)∫[0, 2π]f(x)cos(nx)dx = (1/π)∫[0, 2π](π-x)cos(nx)dx = ……，n = 1, 2, … b(n) = (1/π)∫[0, 2π]f(x)sin(nx)dx = (1/π)∫[0, 2π](π-x)sin(nx)dx = ……，n = 1, 2, …這樣，函數(shù) f(x) 展開成 fourier 級數(shù) f(x) ~ a(0)/2 + ∑{n>=1}a(n)cos(nx) + b(n)sin(nx) = ……，0<2π 且該級數(shù)的和函數(shù)（先做圖，可以看到延拓后的函數(shù)在除 x=0 和 x=2π 外的點是處處連續(xù)的）為 s(x) = [f(x-0)+f(x+0)]/2 = π-x，0<2π， = 0， x=0, 2π。（整個過程就這些，計算就留給你了）

傅里葉級數(shù)求解

4，如何理解傅里葉變換公式

Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文譯名，常見的有“傅里葉變換”、“付立葉變換”、“傅立葉轉(zhuǎn)換”、“傅氏轉(zhuǎn)換”、“傅氏變換”、等等。為方便起見，本文統(tǒng)一寫作“傅里葉變換”。傅立葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號的成分。定義f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點上，函數(shù)是有限值；在一個周期內(nèi)具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換，②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函數(shù)，f(t)叫做F(ω)的像原函數(shù)。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。通俗解釋首頁，使用正余弦波，理論上可以疊加為一個矩形。[2] 第一幅圖是一個郁悶的余弦波 cos（x）傅里葉變換(5張)第二幅圖是 2 個賣萌的余弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)第三幅圖是 4 個發(fā)春的余弦波的疊加第四幅圖是 10 個便秘的余弦波的疊加隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什么道理？不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜?？梢园l(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。

1、公式描述：公式中f(ω)為f(t)的像函數(shù)，f(t)為f(ω)的像原函數(shù)。2、傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。3、相關* 傅里葉變換屬于諧波分析。* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;* 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲?。?卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；* 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計算機快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（fft))。

5，傅立葉級數(shù)是怎么一回事

應該是傅里葉級數(shù)。定義：如果一個給定的非正弦周期函數(shù)f(t)滿足狄利克雷條件，它能展開為一個收斂的級數(shù)法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱為傅里葉級數(shù)（法文：série de Fourier，或譯為傅里葉級數(shù)）一種特殊的三角級數(shù)。

一．傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式設f(t)為一非正弦周期函數(shù)，其周期為t，頻率和角頻率分別為f , ω1。由于工程實際中的非正弦周期函數(shù)，一般都滿足狄里赫利條件，所以可將它展開成傅里葉級數(shù)。即其中a0/2稱為直流分量或恒定分量；其余所有的項是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數(shù)倍關系的一些正弦量。a1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或基波，a1，ψ1分別為其振幅和初相角；a2cos(ω2t+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，a2，ψ2分別為其振幅和初相角；其余的項分別稱為三次諧波，四次諧波等?；ǎ沃C波，五次諧波……統(tǒng)稱為奇次諧波；二次諧波，四次諧波……統(tǒng)稱為偶次諧波；除恒定分量和基波外，其余各項統(tǒng)稱為高次諧波。式（10-2-1）說明一個非正弦周期函數(shù)可以表示一個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。上式有可改寫為如下形式，即當a0，an, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函數(shù)f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。把非正弦周期函數(shù)f(t)展開成傅里葉級數(shù)也稱為諧波分析。工程實際中所遇到的非正弦周期函數(shù)大約有十余種，它們的傅里葉級數(shù)展開式前人都已作出，可從各種數(shù)學書籍中直接查用。從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)后即可證明有 a-n=an b-n=-bn a-n=an ψ-n=-ψn 即an和an是離散變量n的偶函數(shù)，bn和ψn是n的奇函數(shù)。二．傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式將式（10-2-2）改寫為可見與互為共軛復數(shù)。代入式（10-2-4）有上式即為傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式。下面對和上式的物理意義予以說明：由式（10-2-5）得的模和輻角分別為可見的模與幅角即分別為傅里葉級數(shù)第n次諧波的振幅an與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的復數(shù)振幅。的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號表示，即即根據(jù)式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)展開成了復指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。在（10-2-7）中，由于離散變量n是從（-∞）取值，從而出現(xiàn)了負頻率（-nω1）。但實際工程中負頻率是無意義的，負頻率的出現(xiàn)只具有數(shù)學意義，負頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構成了一個頻率為nω1的正弦分量。即引入傅立葉級數(shù)復指數(shù)形式的好處有二：（1）復數(shù)振幅同時描述了第n次諧波的振幅an和初相角ψn；（2）為研究信號的頻譜提供了途徑和方便。高等數(shù)學中的傅立葉級數(shù) 傅立葉系數(shù) 傅立葉系數(shù)包括系數(shù) ，積分號和它的積分域，以及里面的兩個周期函數(shù)的乘積——其中一個是關于f的，另一個是關于x的函數(shù)f(x),另一個則是和級數(shù)項n有關的三角函數(shù)值。這個三角函數(shù)可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立葉系數(shù)包括正弦系數(shù)和余弦系數(shù)。其中當n=0時，余弦值為1，此時存在一個特殊的系數(shù) ，它只與x有關。正弦系數(shù)再成一個正弦，余弦再乘一個余弦，相加并且隨n求和，再加上一半的，就稱為了這個特別的函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)。為什么它特別呢，我想因為這里只有它只限于一個周期函數(shù)而已，而級數(shù)的周期就是f(x)的周期，2 。如果函數(shù)f(x)存在一個周期，但是不是2 了，而是關于y軸對稱的任意一個范圍，它還能寫成傅立葉級數(shù)么？也可以的。只要把傅立葉系數(shù)里的換成l，并且把積分號里的三角函數(shù)中的n 下除一個l，同時把系數(shù)以外的那個n 底下也除一個l。其他的都不動。也可以認為，2 周期的傅立葉級數(shù)其實三角函數(shù)中x前面的系數(shù)應該是，其他的（積分域和系數(shù)）應該是x，只不過這時所有的l都是罷了。前面提及了，周期或是積分域，是關于y軸的一個任意范圍。其實周期函數(shù)不用強調(diào)這個，但是為什么還要說呢？因為要特別強調(diào)一下定義域是滿的。有些函數(shù)的定義域不是滿的，是0到l，當然這樣它有可能不是周期的。這些函數(shù)能寫成傅立葉級數(shù)么？同樣可以。而且，它的寫法不再是正弦和余弦函數(shù)的累積，而是單獨的一個正弦函數(shù)或是余弦函數(shù)。具體怎么寫，就取決于怎么做。因為域是一半的，所以自然而然想到把那一半補齊，f就成了周期函數(shù)。補齊既可以補成奇函數(shù)也可以補成偶函數(shù)。補成積函數(shù)，寫成的級數(shù)只有正弦項，即為0。補成偶函數(shù)，寫成的級數(shù)就只含有余弦項和第一項，即為0。而，傅立葉系數(shù)相比非積非偶的函數(shù)要大一倍。其實，如果不經(jīng)延拓，上面那些對于奇偶函數(shù)同樣使用。在做題時，常?？吹郊墧?shù)后面跟著一個系數(shù)還有一個正弦函數(shù)，然后后面給出了這個系數(shù)很復雜的一串式子，這時候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，會發(fā)現(xiàn)其實那個系數(shù)不過是一個有積分的傅立葉系數(shù)而已。那么一大串，應該看什么呢？應當先看積分域，一下就可以定出周期了。第二步要明確級數(shù)和函數(shù)的關系即等價關系。函數(shù)不但包含在級數(shù)中，而且函數(shù)本身也是和級數(shù)等價的。但一般那個級數(shù)里的函數(shù)是一個擺設，不起什么作用

6，傅里葉級數(shù)的詳細介紹

一．傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式　　設f(t)為一非正弦周期函數(shù)，其周期為T，頻率和角頻率分別為f , ω1。由于工程實際中的非正弦周期函數(shù)，一般都滿足狄里赫利條件，所以可將它展開成傅里葉級數(shù)。即　　其中A0/2稱為直流分量或恒定分量；其余所有的項是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數(shù)倍關系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或基波，A1，ψ1分別為其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，A2，ψ2分別為其振幅和初相角；其余的項分別稱為三次諧波，四次諧波等?；ǎ沃C波，五次諧波……統(tǒng)稱為奇次諧波；二次諧波，四次諧波……統(tǒng)稱為偶次諧波；除恒定分量和基波外，其余各項統(tǒng)稱為高次諧波。式（10-2-1）說明一個非正弦周期函數(shù)可以表示一個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。　　上式有可改寫為如下形式，即　　當A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函數(shù)f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。　　把非正弦周期函數(shù)f(t)展開成傅里葉級數(shù)也稱為諧波分析。工程實際中所遇到的非正弦周期函數(shù)大約有十余種，它們的傅里葉級數(shù)展開式前人都已作出，可從各種數(shù)學書籍中直接查用。　　從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)后即可證明有　　a-n=an 　　b-n=-bn 　　A-n=An 　　ψ-n=-ψn 　　即an和An是離散變量n的偶函數(shù)，bn和ψn是n的奇函數(shù)。　　二．傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式　　將式（10-2-2）改寫為　　可見與互為共軛復數(shù)。代入式（10-2-4）有　　上式即為傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式。　　下面對和上式的物理意義予以說明：　　由式（10-2-5）得的模和輻角分別為　　可見的模與幅角即分別為傅里葉級數(shù)第n次諧波的振幅An與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的復數(shù)振幅。　　的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有　　上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號表示，即　　即根據(jù)式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)展開成了復指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。　　在（10-2-7）中，由于離散變量n是從（-∞）取值，從而出現(xiàn)了負頻率（-nω1）。但實際工程中負頻率是無意義的，負頻率的出現(xiàn)只具有數(shù)學意義，負頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構成了一個頻率為nω1的正弦分量。即　　引入傅立葉級數(shù)復指數(shù)形式的好處有二：（1）復數(shù)振幅同時描述了第n次諧波的振幅An和初相角ψn；（2）為研究信號的頻譜提供了途徑和方便。　　高等數(shù)學中的傅立葉級數(shù)　　傅立葉系數(shù)　　傅立葉系數(shù)包括系數(shù) ，積分號和它的積分域，以及里面的兩個周期函數(shù)的乘積——其中一個是關于f的，另一個是關于x的函數(shù)f(x),另一個則是和級數(shù)項n有關的三角函數(shù)值。這個三角函數(shù)可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立葉系數(shù)包括正弦系數(shù)和余弦系數(shù)。其中當n=0時，余弦值為1，此時存在一個特殊的系數(shù) ，它只與x有關。正弦系數(shù)再成一個正弦，余弦再乘一個余弦，相加并且隨n求和，再加上一半的，就稱為了這個特別的函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)。為什么它特別呢，我想因為這里只有它只限于一個周期函數(shù)而已，而級數(shù)的周期就是f(x)的周期，2 ?！　∪绻瘮?shù)f(x)存在一個周期，但是不是2 了，而是關于y軸對稱的任意一個范圍，它還能寫成傅立葉級數(shù)么？也可以的。只要把傅立葉系數(shù)里的換成l，并且把積分號里的三角函數(shù)中的n 下除一個l，同時把系數(shù)以外的那個n 底下也除一個l。其他的都不動。也可以認為，2 周期的傅立葉級數(shù)其實三角函數(shù)中x前面的系數(shù)應該是，其他的（積分域和系數(shù)）應該是x，只不過這時所有的l都是罷了?！　∏懊嫣峒傲?，周期或是積分域，是關于y軸的一個任意范圍。其實周期函數(shù)不用強調(diào)這個，但是為什么還要說呢？因為要特別強調(diào)一下定義域是滿的。有些函數(shù)的定義域不是滿的，是0到l，當然這樣它有可能不是周期的。這些函數(shù)能寫成傅立葉級數(shù)么？同樣可以。而且，它的寫法不再是正弦和余弦函數(shù)的累積，而是單獨的一個正弦函數(shù)或是余弦函數(shù)。具體怎么寫，就取決于怎么做。因為域是一半的，所以自然而然想到把那一半補齊，f就成了周期函數(shù)。補齊既可以補成奇函數(shù)也可以補成偶函數(shù)。補成積函數(shù)，寫成的級數(shù)只有正弦項，即為0。補成偶函數(shù)，寫成的級數(shù)就只含有余弦項和第一項，即為0。而，傅立葉系數(shù)相比非積非偶的函數(shù)要大一倍。　　其實，如果不經(jīng)延拓，上面那些對于奇偶函數(shù)同樣使用?！　≡谧鲱}時，常?？吹郊墧?shù)后面跟著一個系數(shù)還有一個正弦函數(shù)，然后后面給出了這個系數(shù)很復雜的一串式子，這時候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，會發(fā)現(xiàn)其實那個系數(shù)不過是一個有積分的傅立葉系數(shù)而已。那么一大串，應該看什么呢？應當先看積分域，一下就可以定出周期了。第二步要明確級數(shù)和函數(shù)的關系即等價關系。函數(shù)不但包含在級數(shù)中，而且函數(shù)本身也是和級數(shù)等價的。但一般那個級數(shù)里的函數(shù)是一個擺設，不起什么作用

　fourier series 　　一種特殊的三角級數(shù)。法國數(shù)學家j.-b.-j.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明傅里葉級數(shù)多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。給定一個周期為t的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級數(shù)：　　<math>x(t)=\sum _ 　　其中，<math>a_k</math>可以按下式計算：傅里葉級數(shù) <math>a_k=\frac 　　注意到<math>f_k(t)=e^ 傅里葉級數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：　　在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對可積；傅里葉級數(shù) 在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；　　在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。　　吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和x(t)，那么x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。　所謂的兩個不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數(shù)學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線形無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：　　<math>\int _ 　奇函數(shù)<math>f_o(x)</math>可以表示為正弦級數(shù)，而偶函數(shù)<math>f_e(x)</math>則可以表示成余弦級數(shù)：　　<math>f_o(x) = \sum _傅里葉級數(shù) <math>f_e(x) = \frac 傅里葉級數(shù) 　任何正交函數(shù)系<math>\ 　　<math>\int _ 　　那么級數(shù)<math>\sum _ 　　<math>c_n=\int _傅里葉級數(shù) 事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：　　<math>\int _ <math>\int _ 　　<math>\int _ 　　<math>\int _ 　　<math>\int _

傅里葉級數(shù)　　Fourier series　　一種特殊的三角級數(shù)。法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用?！　?===========================================================================================================　　傅里葉級數(shù)的公式　　給定一個周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級數(shù)：　　<math>x(t)=\sum _　　其中，<math>a_k</math>可以按下式計算：　　<math>a_k=\frac　　注意到<math>f_k(t)=e^　　傅里葉級數(shù)的收斂性　　傅里葉級數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：　　在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對可積；　　在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；　　在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。　　吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和X(t)，那么X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。　　三角函數(shù)族的正交性　　所謂的兩個不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數(shù)學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線形無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：　　<math>\int _　　<math>\int _　　<math>\int _　　<math>\int _　　<math>\int _　　奇函數(shù)和偶函數(shù)　　奇函數(shù)<math>f_o(x)</math>可以表示為正弦級數(shù)，而偶函數(shù)<math>f_e(x)</math>則可以表示成余弦級數(shù)：　　<math>f_o(x) = \sum _　　<math>f_e(x) = \frac　　廣義傅里葉級數(shù)　　任何正交函數(shù)系<math>\　　<math>\int _　　那么級數(shù)<math>\sum _　　<math>c_n=\int _　　事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：　　<math>\int _{a}^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^ 傅里葉級數(shù)求解