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本文目錄一覽

1，本原多項式的介紹
2，什么是本原多項式
3，什么是伽羅華域的本原多項式
4，若一個n次多項式f為本原多項式應(yīng)滿足什么條件
5，6次本原多項式有哪些
6，有限域本原多項式的一道證明

1，本原多項式的介紹

本原多項式的定義：系數(shù)取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素為根的最小多項式。

本原多項式的介紹

2，什么是本原多項式

系數(shù)取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素為根的最小多項式

設(shè)f(x)是一個整系數(shù)多項式, 若f(x)的系數(shù)的公因子只有±1, 則稱f(x)是一個本原多項式.

什么是本原多項式

3，什么是伽羅華域的本原多項式

指的是有限域的有限擴張的本原元的最小生成多項式，由于有限域的乘法群是循環(huán)的，所以這里的本原元即是生成元。例如：設(shè)GF(p^m)為GF(p)的m維擴張（之所以階為p^m是因為有m維每維有p種取法），則若f(x)∈F(p)[x]且f(x)|x^(p^m-1)而不整除x^k（k

本原多項式的定義：系數(shù)取自gf(p)上，以gf(p^m)上的本原域元素為根的最小多項式。

什么是伽羅華域的本原多項式

4，若一個n次多項式f為本原多項式應(yīng)滿足什么條件

本原多項式是近世代數(shù)中的一個概念，是唯一分解整環(huán)上滿足所有系數(shù)的最大公因數(shù)為1的多項式。本原多項式不等于零，與本原多項式相伴的多項式仍為本原多項式。

對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)，為了方便研究，往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達，多項式函數(shù)是最為簡單的一類函數(shù)，它只要對自身變量進行有限次的加，減，乘三種算術(shù)運算，就能求出其函數(shù)值，因此，多項式經(jīng)常被用來近似地表達函數(shù)，這種近似表達在數(shù)學(xué)上經(jīng)常稱為逼近。所以剛開始只是進行一個猜想存在一個多項式，可以近似的等于f（x）。然后泰勒等人經(jīng)過研究而找到了展開的方法。為了能夠進行泰勒展開，必須滿足一定條件的。并不是所有的函數(shù)都能夠找到一個n次多項式，可以近似相等的，也就是說并不是自然存在的！

5，6次本原多項式有哪些

(1) 首先確定n級本原多項式的個數(shù)λ(n),λ(n)即是n級本原多項式的個數(shù)。　　(2) 求出小于2n－1且與2n－1互素的所有正整數(shù)，構(gòu)成一個集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素從小到大排列。　　(3) 排除〔Si〕中不適合的數(shù) 　　* 排除〔Si〕中形如2j（j為正整數(shù)）　　* 排除〔Si〕中所有同宗的數(shù)。即從〔Si〕中從后到前搜索，每取一個數(shù)即做2K×Si，直到大于2n－1，然后減去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的數(shù)則將Si排除，否則保留。再取Si－1按同樣過程做一遍，直到S0．　　* 排除〔Si〕中有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)。即從〔Si〕中從后到前搜索，每取一數(shù)即向前查詢一遍，最后〔Si〕中剩下的數(shù)即為本原抽樣數(shù)，其個數(shù)一定為λ(n)-1。　　(4) 根據(jù)已知的一個n級本原多項式，為其設(shè)置初始狀態(tài)000…01（n個），求出其M序列｛Ai｝（長度為2n－1）. 　　(5) 依次從Si中取出本原抽樣數(shù)，每取出一個抽樣數(shù)Si，即可求出一個本原多項式：以Si對｛Ai｝進行抽樣，就可產(chǎn)生長度為2n－1的另一M序列｛Si｝，在｛Si｝中找到形如000…01（n位）的序列段｛Mi｝，并提取包括｛Mi｝為前n項的2n長度的序列：　　Am+0，Am+1，…，Am+n-1，　　0 0 … 1 　　Am+n，Am+n+1，…Am+2n-1 　　X X … X 　　欲確定的Ci可用下列方程組確定; 　C1＝Am+n 　　C2＝Am+n+1+C1Am+n 　　C3＝Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n

6，有限域本原多項式的一道證明

若m是一個合數(shù), 則存在GF(p)上的首1的m次不可約多項式, 不是本原多項式.證明: 設(shè)m = qn, 其中q > 1是m的最小質(zhì)因數(shù). 由m是合數(shù), 有n > 1為m的最大真因數(shù).GF(p^m)的子域均形如GF(p^k), 其中k為m的約數(shù).于是GF(p^m)的階數(shù)最大的真子域就是GF(p^n).考慮r = (p^m-1)/(p^q-1) = (p^(qn)-1)/(p^q-1) = p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1為整數(shù).有r是p^m-1的約數(shù), 且r < p^m-1 (因為p^q-1 > 1).此外由q ≥ 2, n ≥ 2, 可得q(n-1) ≥ 2n-2 ≥ n, 有r > p^n.GF(p^m)-r是p^m-1的約數(shù), 于是其中存在r階元, 設(shè)a是GF(p^m)-可知a不屬于GF(p^m)的任意真子域GF(p^k), 否則a的階數(shù) ≤ p^k-1 ≤ p^n-1 < r.因此GF(p^m) = GF(p)[a], a的極小多項式f(x)是首1的m次不可約多項式.但r < p^m-1, a不是GF(p^m)的原根, 故f(x)不是本原多項式.即存在GF(p)上的首1的m次不可約多項式, 不是本原多項式.注: 對特征p > 2, 無論m > 1是否素數(shù), r總可取為(p^m-1)/(p-1) < p^m-1.此時m是合數(shù)的條件是不必要的.

m次本原多項式的個數(shù)為 \phi(p^m-1)/m, \phi 是歐拉函數(shù)。系數(shù)在GF(p^m)上的m次首一多項式的個數(shù)為 (p^m)^m = p^(2m). 顯然 (p^m)^m = p^(2m) >> \phi(p^m-1)/m ( 可用數(shù)學(xué)歸納法簡單證得), 所以命題得證。

若m是一個合數(shù), 則存在gf(p)上的首1的m次不可約多項式, 不是本原多項式. 證明: 設(shè)m = qn, 其中q > 1是m的最小質(zhì)因數(shù). 由m是合數(shù), 有n > 1為m的最大真因數(shù). gf(p^m)的子域均形如gf(p^k), 其中k為m的約數(shù). 于是gf(p^m)的階數(shù)最大的真子域就是gf(p^。