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歐拉公式證明，如何證明復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式數(shù)學(xué)里有哪五朵金花

來源：整理 時間：2023-08-24 20:47:10 編輯：智能門戶 手機版

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1，如何證明復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式數(shù)學(xué)里有哪五朵金花

e^ix=cosx+isinx（歐拉公式）的證明： 　　因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… 　　cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… 　　sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 　　在e^x的展開式中把x換成±ix. 　　(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 …… 　　e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?x^3/3!+x^4/4!…… 　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 　　所以e^±ix=cosx±isinx 數(shù)學(xué)史上的五朵金花就是指e，π，i，1，0。

如何證明復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式數(shù)學(xué)里有哪五朵金花

2，歐拉公式 證明

歐拉(Leonhard Euler ,1707-1783)著名的數(shù)學(xué)家,瑞士人,大部分時間在俄國和法國度過.他17歲獲得碩士學(xué)位,早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家.在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表.其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支.著名的七座橋問題也是他解決的。他是創(chuàng)立數(shù)學(xué)符號的大師。首先使用f(x)表示函數(shù),首先用∑表示連加,首先用i表示虛數(shù)單位.1727年首先引用e來表示自然對數(shù)的底。歐拉公式有兩個：一個是關(guān)于多面體的：如凸多面體面數(shù)是F，頂點數(shù)是V，棱數(shù)是E，則V-E+F=2；這個2就稱歐拉示性數(shù)。另一個是關(guān)于級數(shù)展開的：e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 這里i是虛數(shù)單位，i的平方=-1。 參考文獻：以上各位的答案
高中數(shù)學(xué)書上閱讀材料里有證明的，不過很麻煩，對于高中生不好理解。

歐拉公式 證明

3，歐拉公式證明

http://bbs.fhsx.cn/dispbbs.asp?boardid=6&id=5699 這上面有推導(dǎo)過程
歐拉(Leonhard Euler ,1707-1783) 著名的數(shù)學(xué)家,瑞士人,大部分時間在俄國和法國度過.他17歲獲得碩士學(xué)位,早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家.在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表.其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支. 著名的七座橋問題也是他解決的。 他是創(chuàng)立數(shù)學(xué)符號的大師。首先使用f(x)表示函數(shù),首先用∑表示連加,首先用i表示虛數(shù)單位.1727年首先引用e來表示自然對數(shù)的底。 歐拉公式有兩個： 一個是關(guān)于多面體的： 如凸多面體面數(shù)是F，頂點數(shù)是V，棱數(shù)是E，則V-E+F=2；這個2就稱歐拉示性數(shù)。 另一個是關(guān)于級數(shù)展開的： e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 這里i是虛數(shù)單位，i的平方=-1。

歐拉公式證明

4，如何證明歐拉公式

假設(shè)在任意凸多面體中放置一個點光源，以這個點光源為中心作一個單位球，凸多面體的頂點、棱、面都會在球上形成投影。那么只要證明在球面上形成的點、線、面滿足歐拉公式即可。 然后將球面上的所有面剖分成三角形，剖分一個面時，任意兩條剖分線不要在這個面的內(nèi)部形成交叉，這樣剖分為三角形后，球面投影的面數(shù)和線數(shù)會增加，由于每1條線將1個面分成2個面，因而增加1條線也就增加了1個面，線和面增加的數(shù)目相同。 假設(shè)原來的頂點、棱、面的個數(shù)分別為V、E、F，那么進行三角剖分后，V不變，E和F增加的數(shù)目相同，因而F-E+V的值保持不變。下面只證全部為球面三角形時F-E+V=2。 所有面全部為三角形時，由于每個面有3條邊，而每條邊又為2個面所共有，因而2E=3F，則F-E=-F/2，下面再證明V-F/2=2即可。 每一個頂點的一個周角2∏被若干個球面三角形的角圍成，因而所有三角形的內(nèi)角總和為2∏V，一個球面三角形的面積為A+B+C-∏，則所有三角形的面積為：所有三角形內(nèi)角總和-∏F，而所有三角形面積之和為球面面積4∏，即得2∏V-∏F=4∏，等式兩邊除以2∏得：V-F/2=2，問題得證。

5，歐拉公式的證明的一個問題

因為復(fù)變函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)就是用級數(shù)來定義的，把e^x=1+x+x2/2+...直接推到復(fù)數(shù)域上，e^z=1+z+z2/2+...。這跟可導(dǎo)沒有關(guān)系，而且什么叫做沒人證明復(fù)數(shù)域上的函數(shù)可以求導(dǎo)？復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同樣是由實函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義類推過去的，定義在z=z0處f(z)的導(dǎo)數(shù)為lim(z→z0)[f(z)-f(z0)]/(z-z0)。定理唯一的疏漏就是cosz和sinz的定義問題，歐拉把所有的奇數(shù)項和偶數(shù)項分開之后，僅僅看到了所有的奇數(shù)項構(gòu)成的級數(shù)，與實函數(shù)中cosx的泰勒展開形式相同，所以直接認為奇數(shù)項所構(gòu)成的級數(shù)就是cosz。sinz同理。但現(xiàn)代數(shù)學(xué)證明cosz和sinz的級數(shù)定義與其他形式的定義等價，所以如果同樣以級數(shù)來定義cosz和sinz的話，歐拉公式顯然成立。
絕對收斂的可交換性對于實變和復(fù)變是一樣的：設(shè)有級數(shù)u1+u2+...+un+...將它改變順序后得到級數(shù)u1*+u2*+...+un*+...?？紤]原級數(shù)絕對收斂，故有其各項去絕對值后收斂。先對級數(shù)2各項去絕對值后做前n項和sn*。若去足夠大的數(shù)m，使得對于級數(shù)1去絕對值后的那個級數(shù)可以將sn*中的各個項全部包含在內(nèi)，則有下列不等式存在：sn*<=sm<=s，即，單調(diào)有界數(shù)列必有極限，故：數(shù)列{sn*}的極限存在，即級數(shù)2絕對收斂。且有s*<=s。另一方面，若將原來的級數(shù)看做是級數(shù)2改變項后所得的級數(shù)，又應(yīng)有不等式s<=s*成立，故s=s*。對于復(fù)數(shù)項級數(shù)，各項去模后，所得的級數(shù)也是一列正項級數(shù)，故道理是一樣的。

6，歐拉定理怎么證明

簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系 V+F-E=2 這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。 方法1：（利用幾何畫板） 逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E 先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。 去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點數(shù)V、棱數(shù)V與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1 （1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍薄?（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。 以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。 對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。 方法2：計算多面體各面內(nèi)角和 設(shè)多面體頂點數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和∑α 一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。 設(shè)有F個面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為： ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1） 另一方面，在拉開圖中利用頂點求內(nèi)角總和。 設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內(nèi)角和為(V-n)·3600，邊上的n個頂點處的內(nèi)角和(n-2)·1800。 所以，多面體各面的內(nèi)角總和： ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2） 由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1 當(dāng)r=3時值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設(shè)v為頂點數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形 設(shè)一個二維幾何圖形的頂點數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 歐拉定理 在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。 其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。參考資料： http://baike.baidu.com/view/48903.htm#4
歐拉公式簡單多面體的頂點數(shù)v、面數(shù)f及棱數(shù)e間有關(guān)系 v+f-e=2這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。證明方法：方法1：（利用幾何畫板） 逐步減少多面體的棱數(shù)，分析v+f-e 先以簡單的四面體abcd為例分析證法。 去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點數(shù)v、棱數(shù)v與剩下的面數(shù)f1變形后都沒有變。因此，要研究v、e和f關(guān)系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形，證v+f1-e=1 （1）去掉一條棱，就減少一個面，v+f1-e不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍?。?）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，v+f1-e不變，直至只剩下一條棱。以上過程v+f1-e不變，v+f1-e=1，所以加上去掉的一個面，v+f-e =2。對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。 方法2：計算多面體各面內(nèi)角和設(shè)多面體頂點數(shù)v，面數(shù)f，棱數(shù)e。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和∑α一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。設(shè)有f個面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nf，各面內(nèi)角總和為：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nf-2) ·1800]= (n1+n2+…+nf -2f) ·1800=(2e-2f) ·1800 = (e-f) ·3600 （1）另一方面，在拉開圖中利用頂點求內(nèi)角總和。設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·1800，則所有v個頂點中，有n個頂點在邊上，v-n個頂點在中間。中間v-n個頂點處的內(nèi)角和為(v-n)·3600，邊上的n個頂點處的內(nèi)角和(n-2)·1800。所以，多面體各面的內(nèi)角總和：∑α = (v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（v-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (e-f) ·3600 =（v-2）·3600 所以 v+f-e=2.
不需要證明，記住會用就好了
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