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歐拉定理證明，歐拉定理的證明

來(lái)源：整理 時(shí)間：2023-08-27 20:05:24 編輯：智能門(mén)戶(hù) 手機(jī)版

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1，歐拉定理的證明

定理證明 計(jì)算多面體各面內(nèi)角和 設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開(kāi)圖）,求所有面內(nèi)角總和∑α 一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。 設(shè)有F個(gè)面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為
相關(guān)問(wèn)題 ? 歐拉定理的內(nèi)容 - 2個(gè)回答 http://wenwen.soso.com/z/q8968621.htm?pid=w.xg.ll ? 什么是歐拉定理 - 1個(gè)回答 ? 為什么這個(gè)提問(wèn)的地址是http://wenwen.soso.com/z/q23887679.htm?cid=q.s.y g.s.y？？？巧合??？

歐拉定理的證明

2，歐拉公式 證明

歐拉(Leonhard Euler ,1707-1783)著名的數(shù)學(xué)家,瑞士人,大部分時(shí)間在俄國(guó)和法國(guó)度過(guò).他17歲獲得碩士學(xué)位,早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識(shí)下開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家.在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表.其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支.著名的七座橋問(wèn)題也是他解決的。他是創(chuàng)立數(shù)學(xué)符號(hào)的大師。首先使用f(x)表示函數(shù),首先用∑表示連加,首先用i表示虛數(shù)單位.1727年首先引用e來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底。歐拉公式有兩個(gè)：一個(gè)是關(guān)于多面體的：如凸多面體面數(shù)是F，頂點(diǎn)數(shù)是V，棱數(shù)是E，則V-E+F=2；這個(gè)2就稱(chēng)歐拉示性數(shù)。另一個(gè)是關(guān)于級(jí)數(shù)展開(kāi)的：e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 這里i是虛數(shù)單位，i的平方=-1。 參考文獻(xiàn)：以上各位的答案
高中數(shù)學(xué)書(shū)上閱讀材料里有證明的，不過(guò)很麻煩，對(duì)于高中生不好理解。

歐拉公式 證明

3，歐拉公式怎么證明

假設(shè)在任意凸多面體中放置一個(gè)點(diǎn)光源，以這個(gè)點(diǎn)光源為中心作一個(gè)單位球，凸多面體的頂點(diǎn)、棱、面都會(huì)在球上形成投影。那么只要證明在球面上形成的點(diǎn)、線、面滿足歐拉公式即可。 然后將球面上的所有面剖分成三角形，剖分一個(gè)面時(shí)，任意兩條剖分線不要在這個(gè)面的內(nèi)部形成交叉，這樣剖分為三角形后，球面投影的面數(shù)和線數(shù)會(huì)增加，由于每1條線將1個(gè)面分成2個(gè)面，因而增加1條線也就增加了1個(gè)面，線和面增加的數(shù)目相同。 假設(shè)原來(lái)的頂點(diǎn)、棱、面的個(gè)數(shù)分別為V、E、F，那么進(jìn)行三角剖分后，V不變，E和F增加的數(shù)目相同，因而F-E V的值保持不變。下面只證全部為球面三角形時(shí)F-E V=2。 所有面全部為三角形時(shí)，由于每個(gè)面有3條邊，而每條邊又為2個(gè)面所共有，因而2E=3F，則F-E=-F/2，下面再證明V-F/2=2即可。 每一個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)周角2∏被若干個(gè)球面三角形的角圍成，因而所有三角形的內(nèi)角總和為2∏V，一個(gè)球面三角形的面積為A B C-∏，則所有三角形的面積為：所有三角形內(nèi)角總和-∏F，而所有三角形面積之和為球面面積4∏，即得2∏V-∏F=4∏，等式兩邊除以2∏得：V-F/2=2，問(wèn)題得證。
那是什么

歐拉公式怎么證明

4，歐拉公式的證明過(guò)程誰(shuí)知道

用拓樸學(xué)方法證明歐拉公式 嘗歐拉公式：對(duì)于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒(méi)有洞的立體），假 設(shè)f，e和v分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個(gè)數(shù)，那么 f-e+v=2。試一下用拓樸學(xué)方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點(diǎn)數(shù)的歐拉公式。 證明 ： （1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。 （2）去掉多面體的一個(gè)面，就可以完全拉開(kāi)鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)f′，e′和v′分別表示這個(gè)平面圖形的（簡(jiǎn)單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們只須證明f′-e′+v′=1。 （3）對(duì)于這個(gè)平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說(shuō)，對(duì)于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對(duì)角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對(duì)角線，f′和e′各增加1，而v′卻不變，所以f′-e′+v′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時(shí)候，f′-e′+v′的值仍然沒(méi)有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。 （4）如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△abc，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即ac，這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變，所以f′-e′+v′也沒(méi)有變。 （5）如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△def，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即df和ef，這樣就去掉△def。這樣f′減去1，e′減去2，v′減去1，因此f′-e′+v′仍沒(méi)有變。 （6）這樣繼續(xù)進(jìn)行，直到只剩下一個(gè)三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時(shí)f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。 （7）因?yàn)樵瓉?lái)圖形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會(huì)是分散在向外的幾個(gè)三角形，像圖中⑦那樣。 （8）如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個(gè)三角形，也就是去掉1個(gè)三角形，3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn)。因此f′-e′+v′仍然沒(méi)有變。 即f′-e′+v′=1 成立，于是歐拉公式： f-e+v=2 得證。
這專(zhuān)業(yè)性太強(qiáng)啦

5，多面體歐拉定理

http://baike.baidu.com/view/1597961.htm 歐拉定理　　定理 簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F間有關(guān)系 　　V+F-E=2 　　公式描述了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律 [編輯本段]定理的證明 　　分析：以四面體ABCD為例。 　　將它的一個(gè)面BCD去掉，再使它變?yōu)槠矫鎴D 形，四面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)F1變形后都沒(méi)有變（這里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的關(guān)系，只要去掉一個(gè)面，將它變形為平面圖形即可。 　　只需平面圖形證明：V+F1-E=1 　　（1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面，V+F1-E的值不變。例如去掉BC，就減少一個(gè)面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各減少一個(gè)面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不變，因此V+F1-E的值不變 　　（2）再?gòu)氖Ｏ碌臉?shù)枝形中，去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，V+F1-E的值不變。例如去掉CA，就減少一個(gè)頂點(diǎn)C。同理去AD就減少一個(gè)頂點(diǎn)D，最后剩下AB。 　　在以上變化過(guò)程中，V+F1-E的值不變， 　　V+F1-E=2-0-1=1， 　　所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。 　　對(duì)任意的簡(jiǎn)單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。公式對(duì)任意簡(jiǎn)單多面體都是正確的。 [編輯本段]定理的意義 　?。?）數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律； 　?。?）思想方法創(chuàng)新訓(xùn)練：在定理的發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程中，在觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；在方法上將底面剪掉，然后其余各面拉開(kāi)鋪平，化為平面圖形（立體圖→平面圖）。 　　（3）引入拓?fù)湫聦W(xué)科：“拉開(kāi)圖”與以前的展開(kāi)圖是不同的，從立體圖到拉開(kāi)圖，各面的形狀，以及長(zhǎng)度、距離、面積、全等等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。 　　事實(shí)上，定理在引導(dǎo)大家進(jìn)入一個(gè)新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓?fù)鋵W(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓?fù)鋵W(xué)就是研究圖形在這種變形過(guò)程中的不變的性質(zhì)。 　?。?）給出多面體分類(lèi)方法： 　　在歐拉公式中，令 f(p)=V+F-E，f(p)叫做歐拉示性數(shù)。定理告訴我們，簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)f (p)=2。 　　除簡(jiǎn)單多面體外，還有不是簡(jiǎn)單多面體的多面體。例如，將長(zhǎng)方體挖去一個(gè)洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過(guò)連續(xù)變形變?yōu)橐粋€(gè)球面，而能變?yōu)橐粋€(gè)環(huán)面，它的歐拉示性數(shù)為f (p)=16+16-32=0， 　　所以帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)等于零。 [編輯本段]歐拉定理又一證法 　　如圖（1）多面體，設(shè)頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個(gè)面，將其余的面拉平，使它變?yōu)槠矫鎴D形，如圖（2） 　　我們?cè)趦蓚€(gè)圖中求所有面的內(nèi)角總和Σα 　　一方面，在圖（1）中利用面求內(nèi)角總和。 　　設(shè)有F個(gè)面，各面的邊數(shù)分別為n1,n2，…，nF， 　　各面的內(nèi)角總和為： 　　Σα = [(n1-2)?1800+(n2-2)?1800 +…+(nF-2) ?1800] 　　= (n1+n2+…+nF -2F) ?1800 　　=(2E-2F) ?1800 = (E-F) ?3600 （1） 　　另一方面，在圖（2）的拉開(kāi)圖中，利用頂點(diǎn)來(lái)求內(nèi)角總和。 　　設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)?1800，則所有V個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，V-n個(gè)頂點(diǎn)在中間。中間V-n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(V-n)?3600，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)?1800。所以，多面體所有各面的內(nèi)角和為： 　　Σα = (V-n)?3600+(n-2)?1800+(n-2)?1800=（V-2）?3600. （2） 　　由（1）（2）得 　　(E-F) ?3600 =（V-2）?3600 　　所以 V+F-E=2. 　　簡(jiǎn)單多面體 　　表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w叫做簡(jiǎn)單多面體
V+E-F=2

6，歐拉定理怎么證明

簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系 V+F-E=2 這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。 方法1：（利用幾何畫(huà)板） 逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E 先以簡(jiǎn)單的四面體ABCD為例分析證法。 去掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)V與剩下的面數(shù)F1變形后都沒(méi)有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個(gè)面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1 （1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹?shù)枝形”。 （2）從剩下的樹(shù)枝形中，每去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。 以上過(guò)程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個(gè)面，V+F-E =2。 對(duì)任意的簡(jiǎn)單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對(duì)任意簡(jiǎn)單多面體都是正確的。 方法2：計(jì)算多面體各面內(nèi)角和 設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開(kāi)圖）,求所有面內(nèi)角總和∑α 一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。 設(shè)有F個(gè)面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為： ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1） 另一方面，在拉開(kāi)圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和。 設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·1800，則所有V個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，V-n個(gè)頂點(diǎn)在中間。中間V-n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(V-n)·3600，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)·1800。 所以，多面體各面的內(nèi)角總和： ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2） 由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0 當(dāng)r=2時(shí)值為1 當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類(lèi)多面體 p=1 的多面體叫第一類(lèi)多面體 (5) 多邊形 設(shè)一個(gè)二維幾何圖形的頂點(diǎn)數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫(huà)筆數(shù)為B,則有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上兩條對(duì)角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 歐拉定理 在同一個(gè)三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點(diǎn)圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。 其實(shí)歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個(gè)常用的。參考資料： http://baike.baidu.com/view/48903.htm#4
歐拉公式簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)v、面數(shù)f及棱數(shù)e間有關(guān)系 v+f-e=2這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。證明方法：方法1：（利用幾何畫(huà)板） 逐步減少多面體的棱數(shù)，分析v+f-e 先以簡(jiǎn)單的四面體abcd為例分析證法。 去掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點(diǎn)數(shù)v、棱數(shù)v與剩下的面數(shù)f1變形后都沒(méi)有變。因此，要研究v、e和f關(guān)系，只需去掉一個(gè)面變?yōu)槠矫鎴D形，證v+f1-e=1 （1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面，v+f1-e不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹?shù)枝形”。（2）從剩下的樹(shù)枝形中，每去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，v+f1-e不變，直至只剩下一條棱。以上過(guò)程v+f1-e不變，v+f1-e=1，所以加上去掉的一個(gè)面，v+f-e =2。對(duì)任意的簡(jiǎn)單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對(duì)任意簡(jiǎn)單多面體都是正確的。 方法2：計(jì)算多面體各面內(nèi)角和設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)v，面數(shù)f，棱數(shù)e。剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開(kāi)圖）,求所有面內(nèi)角總和∑α一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。設(shè)有f個(gè)面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nf，各面內(nèi)角總和為：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nf-2) ·1800]= (n1+n2+…+nf -2f) ·1800=(2e-2f) ·1800 = (e-f) ·3600 （1）另一方面，在拉開(kāi)圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和。設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·1800，則所有v個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，v-n個(gè)頂點(diǎn)在中間。中間v-n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(v-n)·3600，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)·1800。所以，多面體各面的內(nèi)角總和：∑α = (v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（v-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (e-f) ·3600 =（v-2）·3600 所以 v+f-e=2.
不需要證明，記住會(huì)用就好了
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    【問(wèn)答】 日期：2023-08-27

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    【問(wèn)答】 日期：2023-08-27

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    【問(wèn)答】 日期：2023-08-27

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    【問(wèn)答】 日期：2023-08-27

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