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極大似然估計(jì)，求極大似然估計(jì)

來(lái)源：整理 時(shí)間：2023-08-30 18:11:30 編輯：智能門(mén)戶(hù) 手機(jī)版

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1，求極大似然估計(jì)

（1，1，2，9，10，12，）是來(lái)自參數(shù)為λ的泊松分布總體的樣本 則因?yàn)槠渚禐椋? μ=(1+1+2+9+10+12)=35/6 又泊松分布的期望等于方差，所以σ2=μ=35/6 所以極大似然估計(jì)： P｛X=k｝=（35/6）^k/k!e^(-35/6) 則極大似然函數(shù)為： L(k1，k2...）=（35/6）^k1/k1!e^(-35/6)*（35/6）^k2/k2!e^(-35/6)*... 則P｛X=0｝的極大似然估計(jì) L(θ）=（35/6）^nθ/（θ!）^n*e^(-35n/6) 則lnL(θ）=nθln（35/6）-nln（θ!）-35n/6 dlnL(θ）/dθ=nln（35/6）-n（1/θ+1/(θ-1)+...） 令dlnL(θ）/dθ=0 則nln（35/6）-n（1/θ+1/(θ-1)+...）=0 則ln（35/6）=1/θ+1/(θ-1)+...

求極大似然估計(jì)

2，極大似然估計(jì)步驟

1.求極大似然估計(jì)的一般步驟：（1） 寫(xiě)出似然函數(shù)；（2） 對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，并整理；（3） 求導(dǎo)數(shù) ；（4） 解似然方程 。2.利用高等數(shù)學(xué)中求多元函數(shù)的極值的方法，有以下極大似然估計(jì)法的具體做法：(1)根據(jù)總體的分布，建立似然函數(shù) ;(2) 當(dāng) L 關(guān)于 可微時(shí)，(由微積分求極值的原理）可由方程組定出，稱(chēng)以上方程組為似然方程.因?yàn)?L 與 有相同的極大值點(diǎn)，所以也可由方程組定出 ，稱(chēng)以上方程組為對(duì)數(shù)似然方程； 就是所求參數(shù)的極大似然估計(jì)量。當(dāng)總體是離散型的，將上面的概率密度函數(shù)，換成它的分布律極大似然估計(jì)方法（Maximum Likelihood Estimate，MLE）也稱(chēng)為最大概似估計(jì)或最大似然估計(jì)，是求估計(jì)的另一種方法，最大概似是1821年首先由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（C. F. Gauss）提出，但是這個(gè)方法通常被歸功于英國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家。羅納德·費(fèi)希爾（R. A. Fisher）。極大似然估計(jì)方法是求估計(jì)的另一種方法,1821年首先由德國(guó)數(shù)學(xué)家C. F. Gauss（高斯）提出，但是這個(gè)方法通常被歸功于英國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家R. A. Fisher（羅納德·費(fèi)希爾）。

極大似然估計(jì)步驟

3，極大似然估計(jì)

設(shè)Xi=1：第i次抽樣得到的球是黑球；Xi=0:第i次抽樣得到的球是白球;那么抽樣得到的黑球數(shù)為：∑Xi 那么P(Xi=1)=r/(1+r)于是極大似然函數(shù)為：L(r;x1,x2,...,xn)=∏f(xi;r)=[r/(1+r)]^nlnL(r;x1,x2,...,xn)=[lnr-ln(1+r)]/ndlnL/dr=[1/r-1/(1+r)]/n=0得到：無(wú)解那么這時(shí)候改變方法，從定義出發(fā)
（1，1，2，9，10，12，）是來(lái)自參數(shù)為λ的泊松分布總體的樣本則因?yàn)槠渚禐椋害?(1+1+2+9+10+12)=35/6又泊松分布的期望等于方差，所以σ2=μ=35/6所以極大似然估計(jì)：p｛x=k｝=（35/6）^k/k!e^(-35/6)則極大似然函數(shù)為：l(k1，k2...）=（35/6）^k1/k1!e^(-35/6)*（35/6）^k2/k2!e^(-35/6)*...則p｛x=0｝的極大似然估計(jì)l(θ）=（35/6）^nθ/（θ!）^n*e^(-35n/6)則lnl(θ）=nθln（35/6）-nln（θ!）-35n/6dlnl(θ）/dθ=nln（35/6）-n（1/θ+1/(θ-1)+...）令dlnl(θ）/dθ=0則nln（35/6）-n（1/θ+1/(θ-1)+...）=0則ln（35/6）=1/θ+1/(θ-1)+...

極大似然估計(jì)

4，極大似然估計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)

極大似然估計(jì)認(rèn)為在一次單一的抽樣實(shí)驗(yàn)中，該樣本表現(xiàn)在所有可能的樣本中，是出現(xiàn)概率相對(duì)最大的一個(gè)，通過(guò)對(duì)其概率的極值計(jì)算推斷總體參數(shù)。這種推斷方法的缺陷在于，適用面較窄，對(duì)于某些分布形式或參數(shù)無(wú)效；其優(yōu)勢(shì)則在于計(jì)算相對(duì)精密，估計(jì)效果唯一。極大似然估計(jì)方法（Maximum Likelihood Estimate，MLE）也稱(chēng)為最大概似估計(jì)或最大似然估計(jì)，是求估計(jì)的另一種方法，最大概似是1821年首先由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（C. F. Gauss）提出，但是這個(gè)方法通常被歸功于英國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家。極大似然估計(jì)，只是一種概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，它是參數(shù)估計(jì)的方法之一。說(shuō)的是已知某個(gè)隨機(jī)樣本滿(mǎn)足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計(jì)就是通過(guò)若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。原理它是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，... ，若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)了，那么可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)條件對(duì)A的出現(xiàn)有利，也即出現(xiàn)的概率P（A）較大。極大似然原理的直觀想法我們用下面例子說(shuō)明。設(shè)甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球；乙箱中有1個(gè)白球99個(gè)黑球?，F(xiàn)隨機(jī)取出一箱，再?gòu)某槿〉囊幌渲须S機(jī)取出一球，結(jié)果是黑球，這一黑球從乙箱抽取的概率比從甲箱抽取的概率大得多，這時(shí)我們自然更多地相信這個(gè)黑球是取自乙箱的。

5，極大似然估計(jì)是怎么回事

極大似然估計(jì)法是求估計(jì)的另一種方法。它最早由高斯提出。后來(lái)為費(fèi)歇在1912年的文章中重新提出，并且證明了這個(gè)方法的一些性質(zhì)。極大似然估計(jì)這一名稱(chēng)也是費(fèi)歇給的。這是一種上前仍然得到廣泛應(yīng)用的方法。它是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，…。若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大。
它是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果a，b，c，…。若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果a出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)a出現(xiàn)有利，也即a出現(xiàn)的概率很大。 求極大似然函數(shù)估計(jì)值的一般步驟： （1） 寫(xiě)出似然函數(shù)； （2） 對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，并整理； （3） 求導(dǎo)數(shù) ； （4） 解似然方程 極大似然估計(jì)，只是一種概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，它是參數(shù)估計(jì)的方法之一。說(shuō)的是已知某個(gè)隨機(jī)樣本滿(mǎn)足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計(jì)就是通過(guò)若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。極大似然估計(jì)是建立在這樣的思想上：已知某個(gè)參數(shù)能使這個(gè)樣本出現(xiàn)的概率最大，我們當(dāng)然不會(huì)再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個(gè)參數(shù)作為估計(jì)的真實(shí)值。 當(dāng)然極大似然估計(jì)只是一種粗略的數(shù)學(xué)期望，要知道它的誤差大小還要做區(qū)間估計(jì)。

6，什么是極大似然估計(jì)

極大似然估計(jì)是求估計(jì)的另一種方法。極大似然法（maximum likelihood estimation，MLE）是概率統(tǒng)計(jì)中估算模型參數(shù)的一種很經(jīng)典和重要的方法，貫穿了機(jī)器學(xué)習(xí)中生成模型（Generative model）這一大分支的始終。有一定基礎(chǔ)的同學(xué)肯定會(huì)知道與之對(duì)立的還有另一分支判別模型（Discriminative model）。極大似然估計(jì)是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，是概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。極大似然估計(jì)提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估模型參數(shù)的方法，即：“模型已定，參數(shù)未知”。通過(guò)若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用試驗(yàn)結(jié)果得到某個(gè)參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大，則稱(chēng)為極大似然估計(jì)。極大似然估計(jì)的例子：假設(shè)要統(tǒng)計(jì)全國(guó)人民的年均收入，首先假設(shè)這個(gè)收入服從服從正態(tài)分布，但是該分布的均值與方差未知。沒(méi)有人力與物力去統(tǒng)計(jì)全國(guó)每個(gè)人的收入。國(guó)家有10幾億人口呢？那么豈不是沒(méi)有辦法了？有了極大似然估計(jì)之后，可以采用！比如選取一個(gè)城市，或者一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口收入，作為觀察樣本結(jié)果。然后通過(guò)最大似然估計(jì)來(lái)獲取上述假設(shè)中的正態(tài)分布的參數(shù)。有了參數(shù)的結(jié)果后，就可以知道該正態(tài)分布的期望和方差了。也就是通過(guò)了一個(gè)小樣本的采樣，反過(guò)來(lái)知道了全國(guó)人民年收入的一系列重要的數(shù)學(xué)指標(biāo)量！極大似然估計(jì)的核心關(guān)鍵就是對(duì)于一些情況，樣本太多，無(wú)法得出分布的參數(shù)值，可以采樣小樣本后，利用極大似然估計(jì)獲取假設(shè)中分布的參數(shù)值。

7，總體未知參數(shù)的極大似然估計(jì)是什么函數(shù)的極大值點(diǎn)

總體X～U（1，θ），其分布密度為f（x，θ）=1θ?1， 1≤x≤θ0， 其他．（1）由.X＝EX＝θ+12，解得θ＝2.X?1，故θ的矩估計(jì)量為：?θ1＝2.X?1；似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)＝1(θ?1)n，L′(θ)＝?n(θ?1)n+1＜0，L（θ）遞減，又X1，…，Xn∈（1，θ），故θ的極大似然估計(jì)量為?θ2＝max{X1，…，Xn}．（2）E?θ1＝2E.X?1＝2μ?1＝2×θ+12?1＝θ．而?θ2＝max{X1，…，Xn}的分布函數(shù)為：F?θ2(x)＝P(?θ2≤x)＝P{max{X1，…，Xn}≤x}=P{X1≤x，…，Xn≤x}=nπi＝1P(Xi≤x)=0， x＜1(x?1θ?1)n， 1≤x＜θ1， x≥θ，從而其分布密度為：f?θ2(x)＝F′?θ2(x)＝n(x?1)n?1(θ?1)n，1≤x≤θ 0，其它 ，所以，E?θ2＝∫θ1x?n(x?1)n?1(θ?1)ndx＝∫θ1(x?1+1)n(x?1)n?1(θ?1)ndx=∫θ1n(x?1)n(θ?1)n+∫θ1n(x?1)n?1(θ?1)ndx=nn+1(x?1)n+1(θ?1)n|θ1+(x?1)n(θ?1)n|θ1＝nn+1(θ?1)+1＝nθ+1n+1．
總體X～U（1，θ），其分布密度為f（x，θ）=1θ?1， 1≤x≤θ0， 其他．（1）由.X＝EX＝θ+12，解得θ＝2.X?1，故θ的矩估計(jì)量為：?θ1＝2.X?1；似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)＝1(θ?1)n，L′(θ)＝?n(θ?1)n+1＜0，L（θ）遞減，又X1，…，Xn∈（1，θ），故θ的極大似然估計(jì)量為?θ2＝max{X1，…，Xn}．（2）E?θ1＝2E.X?1＝2μ?1＝2×θ+12?1＝θ．而?θ2＝max{X1，…，Xn}的分布函數(shù)為：F?θ2(x)＝P(?θ2≤x)＝P{max{X1，…，Xn}≤x}=P{X1≤x，…，Xn≤x}=nπi＝1P(Xi≤x)=0， x＜1(x?1θ?1)n， 1≤x＜θ1， x≥θ，從而其分布密度為：f?θ2(x)＝F′?θ2(x)＝n(x?1)n?1(θ?1)n，1≤x≤θ 0，其它 ，所以，E?θ2＝∫θ1x?n(x?1)n?1(θ?1)ndx＝∫θ1(x?1+1)n(x?1)n?1(θ?1)ndx=∫θ1n(x?1)n(θ?1)n+∫θ1n(x?1)n?1(θ?1)ndx=nn+1(x?1)n+1(θ?1)n|θ1+(x?1)n(θ?1)n|θ1＝nn+1(θ?1)+1＝nθ+1n+1．
因?yàn)樗呀?jīng)告訴你求最大值了，若通過(guò)導(dǎo)數(shù)為0求出一點(diǎn)，這一點(diǎn)自然為最大值。畢竟是做題，需要符合題意。若從幾何上看是需要對(duì)比左右大小或二次求導(dǎo)才更嚴(yán)謹(jǐn)一些。

8，極大似然估計(jì)MLE

極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation,MLE)，也稱(chēng)最大似然估計(jì)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，極大似然估計(jì)是重要的參數(shù)估計(jì)方法；機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，也經(jīng)?？吹街苯邮褂脴O大似然估計(jì)以及使用極大似然思想的方法。 在這篇筆記里，主要涉及極大似然的思想和非參數(shù)極大似然估計(jì)NPMLE。 在參數(shù)估計(jì)[1]任務(wù)中，極大似然估計(jì)在 給定樣本 且 已知概率分布(密度) 條件下，估計(jì)分布參數(shù)的重要方法。 (在機(jī)器學(xué)習(xí)中，會(huì)用到未知概率分布(密度)的極大似然估計(jì)，見(jiàn)下文) 極大似然估計(jì)的核心思想，就是估計(jì)出使樣本出現(xiàn)概率最大的參數(shù)作為分布(密度)參數(shù)；從另一個(gè)角度，極大似然估計(jì)認(rèn)為已經(jīng)發(fā)生的(這些樣本出現(xiàn))就是是概率最大的，從而求出分布(密度)參數(shù)。 極大似然估計(jì)在絕大多數(shù)概率論或統(tǒng)計(jì)課程中都有詳細(xì)的介紹，我這里就不贅述了，具體參見(jiàn)課本和網(wǎng)上資料。 這里貼幾個(gè)還不錯(cuò)的網(wǎng)上資料： 維基百科 《極大似然估計(jì)》 [2] 《最大似然估計(jì)》 [3] 筆者在參考李航博士《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》[4]學(xué)習(xí)最大熵模型，遇到條件概率P(Y|X)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)(6.2.4節(jié))時(shí)，真的是一頭霧水。如下圖 一直接觸的極大似然估計(jì)都是已知模型，通過(guò)樣本求參數(shù)。而這個(gè)似然函數(shù)，模型未知，參數(shù)未知，更不知道是怎么來(lái)的，懵圈了。。。 為了搞清楚這個(gè)問(wèn)題，查閱了《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》的參考文獻(xiàn)《A Maximum Entropy Approach to Natural Language Processing》[5]，也沒(méi)有搞清楚這個(gè)問(wèn)題。 后來(lái)各種關(guān)鍵字在google上搜，終于搜到了比較靠譜的信息，大概如下： https://www.stat.washington.edu/thompson/S581_04/Notes/chapter_8.pdf [6] http://www.ms.uky.edu/~mai/sta709/Owen2005.pdf [7] http://statweb.stanford.edu/~owen/empirical/ [8] 這大概是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)似然(Empirical Likelihood)問(wèn)題，但是有點(diǎn)艱深，筆者并不打算深入挖掘下去，只是從機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的角度搞清楚上述公式的由來(lái)。筆者看到了[4]的第一個(gè)公式，終于明白了李航博士書(shū)中公式的由來(lái)，如下。 非參數(shù)極大似然估計(jì)(Non-Parametric Maximum Likelihood Estimation,NPMLE)，在大多數(shù)初級(jí)的概率論課本里是沒(méi)有的。 這里根據(jù)常規(guī)MLE的假設(shè)和建模過(guò)程，來(lái)簡(jiǎn)略推導(dǎo)NPMLE的似然函數(shù)。下圖[3]為常規(guī)MLE的假設(shè)和似然函數(shù)建模過(guò)程。 參考常規(guī)MLE，假設(shè)非參數(shù)的分布有相同的采樣，但沒(méi)有參數(shù)。[1]、百度百科 《參數(shù)估計(jì)》 [2]、維基百科 《極大似然估計(jì)》 [3]、 《最大似然估計(jì)》 [4]、李航《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》 [5]、Adam L. Berger, Stephen A. Della Pietra《A Maximum Entropy Approach to Natural Language Processing》 [6]、 https://www.stat.washington.edu/thompson/S581_04/Notes/chapter_8.pdf [7]、 http://www.ms.uky.edu/~mai/sta709/Owen2005.pdf [8]、 http://statweb.stanford.edu/~owen/empirical/
文章TAG：極大似然估計(jì)求極大似然估計(jì)

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