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實特征值，實對稱特征值問題

來源：整理時間：2023-08-31 16:57:52 編輯：智能門戶手機(jī)版

本文目錄一覽

1，實對稱特征值問題
2，求A0 1 11 0 11 1 0的實特征值及對應(yīng)的特征向量
3，證明任何正交矩陣的實特征值要么是1要么是1
4，求矩陣A0 2 0 1 1 0122 的全部實特征值以及屬于每一個特征值
5，特征值的定義
6，什么是特征向量特征值

1，實對稱特征值問題

首先零矩陣的特征值只有0若 λ是A的特征值則 λ^2 是 A^2 的特征值所以 λ^2=0所以 λ=0即 A 的特征值 λ 只能等于0

實對稱特征值問題

2，求A0 1 11 0 11 1 0的實特征值及對應(yīng)的特征向量

|A-λE|=-λ(λ^2+3)A的實特征值為0Ax=0 的基礎(chǔ)解系為 (1,1,1)^T所以A的屬于特征值0的全部特征向量為 k(1,1,1)^T, k≠0.

求A0 1 11 0 11 1 0的實特征值及對應(yīng)的特征向量

3，證明任何正交矩陣的實特征值要么是1要么是1

設(shè)矩陣為A(ij)由于是正交矩陣AA(T)=I所以A(T)=A(-1) ((T)為矩陣轉(zhuǎn)置，(-1)為矩陣的逆設(shè)A的特征值為λ(n),則A(T)的特征值為λ(n)A(-1)的特征值為1/λ(n)因為A(T)=A(-1) λ(n)=1/λ(n)λ(n)^2=1λ(n)要么是1，要么是-1

因該事把!再看看別人怎么說的。

證明任何正交矩陣的實特征值要么是1要么是1

4，求矩陣A0 2 0 1 1 0122 的全部實特征值以及屬于每一個特征值

|A-λE|=-λ 2 0 1 1-λ 0 1 -2 -2-λ= (-2-λ)[-λ(1-λ)-2]= (-2-λ)(λ^2-λ-2)= (-2-λ)(λ-2)(λ+1)所以 A 的特征值為 2,-1,-2.(A-2E)x=0 的基礎(chǔ)解系為 (4,4,-1)^T所以屬于特征值2的特征向量為 k1(4,4,-1)^T,k1為任意非零常數(shù)(A+2E)x=0 的基礎(chǔ)解系為 (0,0,1)^T所以屬于特征值-2的特征向量為 k2(0,0,1)^T,k2為任意非零常數(shù)(A+E)x=0 的基礎(chǔ)解系為 (2,-1,4)^T所以屬于特征值-1的特征向量為 k3(2,-1,4)^T,k3為任意非零常數(shù)

5，特征值的定義

設(shè)A為n階矩陣，若存在常數(shù)λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特征值，x是A屬于特征值λ的特征向量。 A的所有特征值的全體，叫做A的譜，記為. 如將特征值的取值擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域，則一個廣義特征值有如下形式：Aν=λBν其中A和B為矩陣。其廣義特征值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）構(gòu)成形如A-λB的矩陣的集合。其中特征值中存在的復(fù)數(shù)項，稱為一個“叢(pencil)”。若B可逆，則原關(guān)系式可以寫作，也即標(biāo)準(zhǔn)的特征值問題。當(dāng)B為非可逆矩陣（無法進(jìn)行逆變換）時，廣義特征值問題應(yīng)該以其原始表述來求解。如果A和B是實對稱矩陣，則特征值為實數(shù)。這在上面的第二種等價關(guān)系式表述中并不明顯，因為A矩陣未必是對稱的。

6，什么是特征向量特征值

設(shè)置方程：將A分別作用在u和v上，也就是計算Au和Av：畫個圖就是：Av=2v，A對v的作用，僅僅是將v延長了，這個系數(shù)2就叫特征值；而被矩陣A延長的向量(2,1)，就是特征向量。下面給出數(shù)學(xué)定義。A為nxn矩陣，x為非零向量。若存在數(shù)λ，使Ax=λx成立，則稱λ為A的特征值，x稱為對應(yīng)于λ的特征向量。特征值有兩個很特別的規(guī)律，分別是：1、特征值的和，等于矩陣對角線的和（跡）。2、特征值的積，等于矩陣的行列式。擴(kuò)展資料：定理譜定理在有限維的情況，將所有可對角化的矩陣作了分類：它顯示一個矩陣是可對角化的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因為對角化矩陣T的函數(shù)f(T)（譬如波萊爾函數(shù)f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時候譜定理的作用就更明顯了。例如，若f是解析的，則它的形式冪級數(shù)，若用T取代x，可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。譜定理可以推廣到希爾伯特空間上的有界正規(guī)算子，或者無界自共軛算子的情況。求特征值，描述正方形矩陣的特征值的重要工具是特征多項式，λ是A的特征值等價于線性方程組(A – λI) v = 0 （其中I是單位矩陣）有非零解v (一個特征向量)，因此等價于行列式|A – λI|=0 。函數(shù)p(λ) = det(A – λI)是λ的多項式，因為行列式定義為一些乘積的和，這就是A的特征多項式。矩陣的特征值也就是其特征多項式的零點(diǎn)。一個矩陣A的特征值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。若A是一個n×n矩陣，則pA為n次多項式，因而A最多有n個特征值。反過來，代數(shù)基本定理說這個方程剛好有n個根，如果重根也計算在內(nèi)的話。所有奇數(shù)次的多項式必有一個實數(shù)根，因此對于奇數(shù)n，每個實矩陣至少有一個實特征值。在實矩陣的情形，對于偶數(shù)或奇數(shù)的n，非實數(shù)特征值成共軛對出現(xiàn)。求特征向量，一旦找到特征值λ，相應(yīng)的特征向量可以通過求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v為待求特征向量，I為單位陣。沒有實特征值的一個矩陣的例子是順時針旋轉(zhuǎn)90度。參考資料：搜狗百科-特征向量

1. 矩陣（以方陣為例）可以看作是一個坐標(biāo)系；2. 矩陣乘法可以看作是一個變換，可以把一個向量變成另一個向量；3. 在這個變換過程中，原向量可能在坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)、伸縮；4. 如果在這個變換過程中，矩陣對某個向量只發(fā)生伸縮，而不發(fā)生旋轉(zhuǎn)；則這個向量為這個矩陣的特征向量，而伸縮的比例就是特征值。矩陣是一個系統(tǒng)的理論，要理解特征向量、特征值，最好先了解矩陣的幾何意義。

定義：Aξ=λξ ，λ是特征值ξ是特征向量意思就是一個矩陣作用在一個向量上，相當(dāng)于一個數(shù)作用這個向量上，這個數(shù)就是特征值，這個向量就是特征向量如果你指得講清楚是講清楚特征值和特征向量的幾何意義，可以追問，我也可以給你講清楚，只不過過程相當(dāng)復(fù)雜，你要不需要我就先不講了，但是我估計即使說明白，對你的學(xué)習(xí)沒什么有用的幫助，說實話大學(xué)就算你要考研，特征值特征向量也就是背公式就解決了

特征值就是使得λE-A的行列式為0的λ值，而特征向量是對應(yīng)某一特征值來說滿足值，(λE-A)a=0的解向量

特征向量是一個非簡并的向量，在這種變換下其方向保持不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。特征值是線性代數(shù)中的一個重要概念。線性變換通?？梢杂闷涮卣髦岛吞卣飨蛄縼硗耆枋?。特征空間是一組特征值相同的特征向量?！疤卣鳌币辉~來自德語的eigen。希爾伯特在1904年第一次用這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“個體的”，這顯示了特征值對于定義特定的線性變換的重要性。擴(kuò)展資料：求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：計算的特征多項式；第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實數(shù)）。參考資料來源：搜狗百科-特征值參考資料來源：搜狗百科-特征向量